Non sempre si può scomporre un trinomio di secondo grado, la maggior parte delle volte si deve ricorrere a Ruffini.
Però si può rendere la cosa più semplice usando la relazione tra le soluzioni dell’equazione di secondo grado e i suoi coefficienti.
Consideriamo il generico trinomio di secondo grado:
ax² + bx + c e consideriamo l’equazione ad esso associato.
ax² + bx + c=0 con Δ>0 e quindi avremo due soluzioni reali e distinte che vengono detti anche zeri dell’equazione.
Mettiamo in evidenza la a dall’equazione generale e otteniamo:
Ma sappiamo che la somma delle radici +=-b\a e il prodotto delle radici è •= c\a quindi possiamo sostituirli nella messa in evidenza e otteniamo:
a[ – ( +)x + •] =0 ⇒
A questo punto raccogliamo x fra i primi due termini e fra gli altri due, otteniamo:
a[x(x – ) – (x – )] =0
A questo punto raccogliamo (x – ) e otteniamo:
a(x – )(x – ) =0
Possiamo quindi ricavare il seguente enunciato: un trinomio di secondo grado è sempre uguale al prodotto del coefficiente del termine di secondo grado per i due fattori di primo grado, ciascuno dei quali si ottiene sottraendo dalla variabile una delle radici.
Se le radici sono coincidenti, quindi = la scomposizione del trinomio è:
a(x – )(x – ) =0 quindi a (x – )²
Se l’equazione non ha soluzioni reali, quindi il Δ<0 allora non si può scomporre.
Esempio n° 1
2x² – 3x + 1 =0
Calcoliamo il Δ = 9 – 8 = 1 quindi è >0 , le radici saranno reali e distinte, a questo punto svolgendola vediamo che le esse sono = 1 e = 1\2
La scomposizione del trinomio è: 2(x -1)(x – 1\2)
Esempio n° 2
25x²- 20x +4=0
Calcoliamo il Δ = 400 – 400 =0 quindi le radici sono reali e coincidenti.
Calcoliamo le radici che sono : = = 2\5
La scomposizione del trinomio è 25(x -2\5)²
Esempio n° 3
2x² + 3x + 4
Il Δ = 9 – 32 = – 23 <0 l’equazione non ha soluzioni reali e il polinomio è irriducibile.
Programma di matematica secondo superiore
