DALL’INSIEME DEI NUMERI NATURALI AI NUMERI REALI POSITIVI
Gli insiemi numerici ( N dei numeri naturali, 
dei numeri razionali positivi, l’insieme dei numeri irrazionali positivi e l’insieme dei numeri reali positivi) non sono indipendenti e separati tra loro, ma sono l’uno l’ampliamento dell’altro.
Nell’insieme N dei numeri naturali è sempre possibile eseguire l’addizione, la moltiplicazione e l’elevamento a potenza. In simboli:
se a,b ∈ N allora a+b ∈ N a·b ∈N a² ∈ N
Le operazioni inverse: sottrazione, divisione ed estrazione di radice quadrata non sempre hanno risultato in N.
Ecco perchè c’è la necessita di ampliare l’insieme dei numeri naturali, quindi, introduciamo l’insieme dei numeri razionali positivi che ha come elementi i numeri decimali finiti o periodici che si possono ottenere da frazioni aventi per numeratore e denominatore numeri naturali. L’ insieme un’ampliamento dell’insieme N e quindi N è un sottoinsieme di , in simboli si scrive:
N ⊂
Nell’insieme è sempre possibile eseguire oltre che l’addizione, la moltiplicazione e l’elevamento a potenza anche la divisione. In simboli:
se a,b ∈ allora a+b ∈ a·b ∈ ∈ a\b ∈
L’estrazione di radice e la sottrazione non sempre hanno risultato .
Per rendere sempre possibile l’operazione di estrazione di radice, anche di numeri che non sono quadrati perfetti, si introduce l’insieme dei numeri irrazionali positivi, cioè dei numeri decimali illimitati non periodici che non si possono ottenere da una frazione. Questi numeri sono radici non esatte o numeri come π o altri ancora.
L’insieme (dei numeri razionali positivi) non comprende l’insieme ma lo affianca e la loro unione genera l’insieme dei numeri reali assoluti. In simboli si scrive:
∪ =
I due insiemi sono disgiunti:
∩ = ∅
Nell’insieme è sempre possibile eseguire l’addizione, la moltiplicazione, l’elevamento a potenza, la divisione e l’estrazione di radice. Anche in la sottrazione non è possibile: dovremo quindi ampliare gli insiemi numerici fin qui usati con i numeri dotati di segno che ci permettono di eseguire sempre la sottrazione e cioè l’insieme Z dei numeri interi relativi.
