Una disequazione, ad una sola incognita, si dice di secondo grado , quando è riconducibile alla forma :
ax²+bc + c>0 oppure <0 dove a,b e c sono numeri reali con a≠0, altrimenti la disequazione non sarebbe più di secondo grado.
Per praticità consideriamo sempre i casi in cui a>0, se non fosse così cambiamo tutti i segni di a,b e c e il verso della disequazione in modo da rendere a>0.
Per studiare una disequazione di secondo grado si deve considerare l’equazione associata e cioè ax²+bc + c=0.
Adesso consideriamo separatamente i due casi e cioè: ax²+bc + c>0 e ax²+bc + c<0
Disequazione ax²+bc + c>0 con a>0.
Le soluzioni sono quei valori che rendono positivo il trinomio;. per determinarla si considera l’equazione associata:
ax²+bc + c=0
Se Δ>0 l’equazione ha due soluzioni 
e .
Poichè partiamo dal presupposto che a>0, la disequazione è verificata dai valori di x che appartengono all’intervallo esterno delle due soluzioni, quindi le soluzioni esterne sono x< e x>.
Se Δ=0 l’equazione ha una soluzione doppia che chiamiamo . La disequazione è verificata per qualsiasi valore di x escluso x=
Se Δ<0 l’equazione non ha soluzioni reali. La disequazione è verificata per qualsiasi valore di x.
Quando la disequazione è anche ≥ se il Δ=0 la disequazione è verificata per qualsiasi valore di R , senza escludere nulle
Disequazione ax²+bc + c<0 con a>0.
Le soluzioni sono i valori di x che rendono negativo il trinomio, anche in questo caso per determinarle si ricorre all’equazione associata: ax²+bc + c=0
Se Δ>0 l’equazione ha due soluzioni e .
La disequazione è verificata dai valori di x che appartengono all’intervallo interno delle due soluzioni . Quindi le soluzioni interne sono <x<
Se Δ=0 l‘equazione ha una soluzione doppia che chiamiamo . La disequazione è verificata da nessun valore di x , cioè non ha soluzioni reali.
Se Δ<0 l’equazione non ha soluzioni reali. La disequazione è verificata da nessun valore di x , cioè non ha soluzioni reali.
Quando la disequazione è anche ≤ se il Δ=0 la disequazione è verificata, ha soluzione sono per .
Per capire meglio ci sono tanti esercizi svolti.
| Disequazione con a positivo | (b²-4ac)Δ>0 | (b²-4ac)Δ=0 | (b²-4ac)Δ<0 |
| ax²+bx +c >0 | soluzioni esterne
; |
Tutte le soluzione eccetto:
x≠
, |
Tutte le soluzioni |
| ax²+bx +c ≥0 | soluzioni esterne
; |
Tutte le soluzioni | Tutte le soluzioni |
| ax²+bx +c< 0 | Soluzioni interne: | Nessuna soluzione | Nessuna soluzione |
| ax²+bx +c ≤ 0 | Soluzioni interne: | L’unica soluzione:
|
Nessuna soluzione |
