La divisione non è un’operazione interna all’insieme N perchè non sempre è possibile trovare il quoziente di due numeri naturali in N . Se consideriamo due numeri naturali, a e b, eseguendo la divisione a: b, possiamo avere due casi:
- esiste il numero naturale c quoziente dei due numeri.
35 : 7 = 5 → in questo caso si dice che la divisione ha quoziente esatto o ha resto zero.
- non esiste il numero naturale c quoziente dei due numeri.
28 : 5 =? → in questo caso, si parla di divisione impropria che non ha quoziente esatto, infatto, 28: 5 = 5 con resto 3.
Nel primo caso si dice che 35 è divisibile per 7 o che 7 è un divisore di 35.
Dati due numeri naturali a e b, se la divisione a : b ha quoziente esatto (o resto 0), si dice che a è divisibile per b e quindi che b è un divisore di a.
Consideriamo alcuni numeri naturali, per esempio 10, 15 e 18, e determiniamo i loro divisori, ovvero tutti i numeri per i quali sono divisibili, avremo:
divisori di 10: 1; 2; 5; 10
divisori di 15: 1; 3; 5; 15
divisori di 18 : 1; 2; 3; 6; 9; 18
Osserviamo che:
- il numero 1 è divisore di tutti i numeri;
- i divisori sono tutti minori o, al più, uguali al numero stesso;
- l’insieme dei divisori è un insieme finito.
Consideriamo ora un numero naturale, ad esempio 5, e moltiplichiamolo per tutti i termini della successione dei numeri naturali, 0, 1, 2, 3, 4, 5…., otteniamo la successione 0, 5, 10, 15, 20, 25,..…, ciascun numero di questa successione si dice multiplo di 5 rispettivamente secondo i numeri 0, 1, 2, 3, 4, 5,…
In generale:
Dato un numero naturale a si dicono multipli di a tutti i prodotti di a per la successione dei numeri naturali: multipli di a → 0a, 1a, 2a, 3a, 4a. 5a,….
I multipli di un numero sono infiniti, in quanto ottenuti moltiplicando il numero per tutti i numeri naturali che sono infiniti.
Per esempio:
i multipli di 3 → 0; 3; 6; 9…120….;
i multipli edi 4 →0; 4; 8; 12; …120 ….;
