La risoluzione di un’equazione completa di secondo grado è:
Con questa formula si ottengono le soluzioni di qualsiasi equazione completa di secondo grado nella forma :
ax² + bx + c=0.
Ovviamente osservano la formula che permette di risolvere le equazioni di secondo grado si capisce che essa ha soluzioni reali solo se l’espressione b² – 4ac, che si trova sotto la radice quadrata, è un numero positivo o è zero. Perchè nell’insieme R non esiste la radice di un numero negativo.
Per questo motivo b² – 4ac, è detto discriminante dell’equazione e si indica con la lettera greca maiuscola Δ (delta).
Quindi importante da ora in poi che quando troviamo anche solo scritto Δ, si sta parlando di b² – 4ac.
Nello svolgere un’equazione si possono verificare tre casi:
- Il discriminante è positivo quindi Δ = cioè b² – 4ac >0 e così otteniamo due soluzioni reali e distinte che sarebbero:
e
- Il discriminante è nullo quindi Δ = cioè b² – 4ac =0 e l’equazione ha due soluzioni reali e coincidenti, e dalla formula si ottiene:
Si dice anche che l’equazione ha una soluzione doppia.
- Il discriminante è negativo, cioè Δ = cioè b² – 4ac <0, poichè il Δ è negativo e quindi sotto la radice non ci può essere un numero negativo, l’equazione non ha soluzioni reali e si dice impossibile nell’insieme R.
Vediamo alcuni esempi:
1)x² – 5x + 4= 0
Per meglio capire il procedimento facciamo un riepilogo dei valori che ci servono nella formula:
a= 1, b= -5, c=4
Δ= b² – 4ac = (-5)² -4(1)(4) 0 25 – 16 = 9
Le soluzioni sono e
2)x² – 6x + 9
a= 1, b= -6, c=9
Δ= b² – 4ac = 36 – 36 =0
Poichè il Δ=0 abbiamo due soluzioni reali coincidenti:
3)3x² – x + 5 = 0
a= 3 b= -1, c=5
Δ= b² – 4ac = 1 -4(3)(5) = 1 -60 = -59
Δ< 0 , l’equazione non ha soluzioni reali.
LA FORMULA RIDOTTA
La formula ridotta si può applicare se il coefficiente della b del termine in di primo grado sia un numero pari. Questa serbe semplicemente per semplificare i calcoli.
La formula è la seguente:
Il discriminante , cioè il Δ nella formula ridotta è la quarta parte del discriminante della formula normale e si indica con
Facciamo degli esempi:
1)x² – 6x + 10=0
la b è pari quindi si può applicare la formula ridotta.
a= 1, b= -6, c=10
Δ<0 quindi l’equazione non ha soluzioni reali.
2)3x² -4x +1=0
la b è pari quindi si può applicare la formula ridotta.
a= 3, b= -4, c=1
Le soluzioni sono: e
