Equazioni equivalenti
Due equazioni, contenenti le medesime incognite, si dicono equivalenti quando tutte le soluzioni della prima sono anche soluzioni della seconda e tutte quelle della seconda lo sono anche della prima.
Quindi per affermare che due equazioni sono equivalenti non basta che tutte le soluzioni siano anche soluzioni della seconda, ma bisogna che si verifichi anche l’inverso.
Esempio:
x² – 4 =0 e (2x – 1)(2x +1)= 3(x² + 1) le soluzioni di entrambe sono x=+2 e x=-2 quindi sono equivalenti.
Consideriamo ora:
x² – 4 =0 e x +4 = 2; la prima avrà come soluzioni x=+2 e x=-2 mentre la seconda equazione solo x=-2 quindi non sono equivalenti perchè x=2 non è soluzione di entrambe.
L’equivalenza tra equazioni è una relazione di equivalenza nell’insieme delle equazioni, perchè gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.
Proprietà riflessiva: ogni equazione è equivalente a se stessa.
Proprietà simmetrica: se 3x – 6 = 0 è equivalente a x-2=0, anche x-2 =0 è equivalente a 3x – 6=0
Proprietà transitiva: se 2x – 4=0 è equivalente a x-2=0 e x-2=0 è equivalente a x=2, allora 2x – 4=0 è equivalente a x=2
