Un’equazione è fratta se contiene l’incognita in almeno un denominatore. Un’equazione fratta è numerica se tutti i coefficienti sono numeri, invece è letterale se almeno un coefficiente contiene una o più lettere.
equazioni numeriche fratte
equazioni letterali fratte
La risoluzione di questo tipo di equazioni avviene come le altre equazioni ma ponendo la condizione di esistenza.
Per esempio risolviamo un’equazione numerica fratta:
C.E. x+4≠0, cioè x≠-4
Per risolverla moltiplichiamo entrambe i membri per x +4 e otteniamo:
3x -2-5x-20 =0
-2x= +22
A questo punto bisogna controllare se la soluzione è compatibile con la condizione d’esistenza. Visto che la soluzione x = -11 è compatibile con x≠1 , allora l’equazione è possibile. Se la soluzione fosse stata x = -4 allora non sarebbe stata compatibile e quindi l’equazione sarebbe impossibile.
Risolviamo un’equazione letterale fratta:
Poniamo la C.E.
x-5 ≠0 ⇒ x ≠ 5
Moltiplichiamo entrambe i membri dell’equazione per il denominatore comune, in modo da ottenere un’equazione intera.
-3-2x+10 = ax
-2x-ax = -10 +3 ⇒ 2x +ax = +10-3 ⇒
x(2+a) = 7
Discussione
Se 2+a = 0 ⇒ a = -2 quindi x (2-2) = 7 ⇒ 0= 7 impossibile
Se 2+a ≠ 0 ⇒ a ≠ 2 quindi soluzione accettabile
A questo punto troviamo i valori di a che rendono accettabile la soluzione.
x ≠5 se
quindi
7 ≠ 5a + 10 ⇒ 5a ≠ -3
In conclusione Se a≠ -2 e :
Se a = -2 e è impossibile
Consideriamo un altro esempio:
C.E. x +1≠0 ⇒ x ≠ -1
(a² -4)x -a +2 =0
(a² -4)x = +a -2
quindi semplificando
Questa soluzione è accettabile solo se risulta verificata la condizione di esistenza della frazione.
Quindi x ≠ -1 diventa:
1 ≠ a+2 quindi a ≠ -3
Se (a² -4) = 0 a=±2 ma se a= 2 risulta x(2² -4) = 2-2 0= 0 indeterminata
Se a= -2 quindi 0= -4 impossibile
Se (a² -4) ≠ 0 a≠±2 l’equazione è determinata quindi
In sintesi per a= -3 soluzione non accettabile; a = -2 impossibile, a= 2 indeterminata
a≠±2 ed a ≠ -3 : quindi determinata
