Le equazioni parametriche sono quelle equazioni letterali , dove il valore di una lettera sia tale da rendere vera una condizione. Quindi è quella equazione che ridotta in forma normale ha tutti i coefficienti o parte di essi che contengono un parametro come ad esempio kx² – 3x + k – 1 = 0   con k∈R. Quindi attribuendo valori diversi al parametro k, si ottengono equazioni differenti, ognuna con le proprie soluzioni.

Nel momento in cui ci viene data un’equazione parametrica, di solito la richiesta che viene fatta è quella di determinare per quali valori del parametro le soluzioni dell’equazione soddisfino determinate condizioni.

Elenchiamo le condizioni frequenti che si verificano negli esercizi.

Enunciato forma algebrica cosa fare
una soluzione è nulla equazione=0 nell’equazione data si deve sostituire alla x lo 0
una soluzione è uguale ad un numero n equazione=n nell’equazione data si deve sostituire alla x la n
le soluzioni sono opposte equazione= – equazione cioè equazione+equazione=0 si pone la somma cioè – b\a=0
le soluzioni sono reciproche equazione=1\equazione cioè equazioneequazione=1 si pone il prodotto cioè c\a = 1
le soluzioni sono antireciproche equazione=-1\equazione cioè equazioneequazione=-1 si pone il prodotto cioè c\a = –  1
le soluzioni sono concordi equazioneequazione>0 si pone il prodotto cioè c\a >0
le soluzioni sono discordi equazioneequazione<0 si pone il prodotto cioè c\a <0
le soluzioni sono reali e coincidenti equazione=equazione si pone il Δ=0
le soluzioni sono reali e distinte equazione,equazione∈R si pone il Δ>0
le soluzioni non sono reali equazione,equazione∉R si pone il Δ<0
l’equazione è spuria ax²+bx=0 si pone c=0
l’equazione è pura ax²+c=0 si pone b=0
è assegnata la somma delle soluzioni equazione+equazione=n si pone la somma cioè -b\a=n
è assegnata la somma dei reciproci delle soluzioni equazione si pone -b\c=n
è assegnata la somma dei quadrati delle soluzioni equazione²+equazione²= n si pone

equazione oppure

equazione

è assegnata la somma dei cubi delle soluzioni equazione equazione
è assegnato il prodotto delle soluzioni equazione= n •equazione si risolve il sistema tra

equazione

equazione

equazione

 

Consideriamo alcuni esempi:

Esempio n°1

Determina il valore del parametro a, affinchè l’equazione x² – 2(a-1)x + 4 + a² =0

abbia radici reali e coincidenti.

Un’equazione di secondo grado ha due soluzioni reali e coincidenti quando il Δ=0. A questo punto si calcola il discriminante e si verifica per quali valori di a esso è uguale a  zero:

Possiamo fare ilequazione (a – 1)² -(4+ a²)=0 ⇒ a² + 1 -2a -4-a²=0 quindi -2a-3=0 che possiamo scrivere come 2a+3=0 quindi a = -3\2.

A questo punto se andiamo a sostituire il valore della a nell’equazione otteniamo:x² – 2(- 3\2 -1)x + 4 +( – 3\2)² =0

x² – 5\2x + 4 + 9\4 facciamo il m.c.m. e otteniamo 4x²  + 20x +25 =0 svolgendola si ottengono come soluzioni              equazione=equazione= – 5\2

Esempio n° 2

Nell’equazione kx² -(2k + 1)x + k – 1 =0

determina il valore di k affinchè:

  1. una delle soluzioni sia nulla;
  2. le due soluzioni siano opposte;
  3. le due soluzioni siano reciproche una dell’altra;
  4. una delle radici sia uguale a 3.

1)poniamo equazione=0, quindi dobbiamo sostituire lo 0 alle x dell’equazione data. Otteniamo:

0 – 0 + k – 1 =0 quindi k=1.

2)dobbiamo porre equazione= – equazione cioè equazione+equazione=0 quindi si pone la somma -b\a=0. Quindi otteniamo:

equazione

quindi 2k +1=0 ⇒k = – 1\2

3) equazione

cioè equazioneequazione=1  quindi  c\a = 1 cioè c=a ottenendo così k -1= k quindi è impossibile perchè la k va via, quindi questa equazione non può avere reciproci.

4)equazione=3, quindi vado a sostituire il 3 nelle x dell’equazione e ottengo:

k3² -(2k +1)3 + k – 1=0 ⇒ 9k -6k – 3 + k – 1=0  otteniamo 4k – 4 =0 quindi k= 1

VEDI GLI ESERCIZI

 

Programma di matematica secondo superiore