Esercizio
Esegui le seguenti disequazioni di secondo grado.
1)2x² – 5x -3 > 0
2)-x² + x + 2 > 0
3)x² – 36 ≤ 0
4)3x² – 2x + 4 > 0
5)9x² – 12x + 4 <0
6)x² – 4x + 4 ≤ 0
7)x² – 13\6x + 1 <0
8)x² – 7\4x – 15\8> 0
9)x² + 10x + 34 <0
10)9x² – 30x + 25 >0
11)81x² + 18x + 1 ≤ 0
12)4x² – 12x + 9≥ 0
13)3(x – 1)(x + 3) >7 + 2(3x – 2)
14)(x + 5)² – (x-1)(2x +1) > 13(x +2)
15)[ x²-(1 – x²) ](1 – 2x)+10 < 3(x -1) +x(1 – x)
16)[x -4(1 -x) + 2 ](1 -x)< x -2(1 – 2x)
17)
18)
19)2(x+5)² – (x -3)(x+3) >2(6x + 5) +22x
20)(x +5)² -8(-x -5) + (-4)² ≤0
SVOLGIMENTO
Esercizio
Esegui le seguenti disequazioni di secondo grado.
1)2x² – 5x -3 > 0
Prima di tutto ci calcoliamo il discriminante, cioè il delta (Δ)= b² – 4ac = (-5)² -4(2)(-3) = 25 + 24 = 49
Considero l’equazione associata:
2x² – 5x -3=0
La regola per calcolarci le radici è :
Poichè questa disequazione è maggiore di zero con a>0 e il Δ> 0 , le soluzioni apparterranno all’intervallo esterno, quindi x<-1\2 e x> 3
2)-x² + x + 2 > 0
rendiamo a >0, per fare ciò cambiamo i segni a tutti e invertiamo il segno della disequazione. Ottenendo:
x² – x – 2 < 0
Δ= 1 +8 = 9>0
Considero l’equazione associata:
x² – x – 2 =0
Quindi a l’abbiamo resa >0, il Δ>0, disequazione <0 allora le soluzioni apparterranno all’intervallo interno. Quindi avremo che x è compreso tra -1 e 2 e si scrive -1< x<2
3)x² – 36 ≤ 0 Scriviamo l’equazione associata:
x²= 36 quindi x =± quindi x = ±6
A questo punto poichè la a>0, il Δ>0 e la disequazione è ≤ 0 le soluzioni sono interne , quindi -6≤ x≤ 6
4)3x² – 2x + 4 > 0
Δ= 1 – 12 = -11<0
Scriviamo l’equazione associata:
3x² – 2x + 4 =0
Quindi disequazione > 0, Δ<0 il risultato è tutto R.
5)9x² – 12x + 4 <0
Δ= 144 – 144 =0
Scriviamo ‘equazione associata:
9x² – 12x + 4=0
x= 12\18 = 2\3
a>0, Δ=0, disequazione <0 nessun valore di x è soluzione della disequazione.
6)x² – 4x + 4 ≤ 0
Δ\4= 4-4=0
Scriviamo l’equazione associata:
x² – 4x + 4=0
x= 2
a>0, Δ=0, disequazione ≤0 . Non esiste soluzione ad eccezione di x=2
7)x² – 13\6x + 1 <0
6x² -13x +6 <0
Δ=169- 144=25>0
Scriviamo l’equazione associata:
6x² -13x +6 =0
Poichè a>0, Δ>0, disequazione <0, le soluzioni saranno interne. Quindi 2\3<x<3\2
8) x² – 7\4x – 15\8 > 0
Considero l’equazione associata:
x² – 7\4 x – 15\8 =0 facciamo il m.c.m e otteniamo: 8x² – 14 x – 15 =0
Δ\4= 49 + 120 = 169
Visto che a>0, il Δ>0 e la disequazione >0 le soluzioni sono esterne quindi: x< – 3\4, x> 5\2
9)x² + 10x + 34 <0
L’equazione associata è:
x² + 10x + 34 =0
Δ\4 = 25 – 34 = -9<0
Quindi a>0, Δ<0, disequazione <0 Non esistono soluzioni.
10)9x² – 30x + 25 >0
L’equazione associata è:
9x² – 30x + 25=0
Δ\4 = 225 – 225 =0
x = 15\9 = 5\3
Quindi a>0, Δ=0, disequazione >0 le soluzioni saranno tutte escluso 5\3
11)81x² + 18x + 1 ≤ 0
L’equazione associata è:
81x² + 18x + 1
Δ\4 = 81 – 81 =0
x= – 9\81 = – 1\9
a>0 , Δ=0 , disequazione ≤ 0 l’unica soluzione è x= – 1\9
12)4x² – 12x + 9≥ 0
L’equazione associata è:
4x² – 12x + 9=0
Δ\4 = 36 – 36 =0
a>0 , Δ=0 , disequazione≥ 0 le soluzioni sono tutto R
13)3(x – 1)(x + 3) >7 + 2(3x – 2)
(3x – 3)(x + 3) > 7 + 6x – 4
3x² + 9x – 3x – 9 > 7 + 6x – 4
3x² + 6x – 6x – 9 – 7 + 4 > 0
3x² – 12 >0
x² – 4 >0
L’equazione associata è x²=4 quindi x= ±2
a>0 , Δ>0, disequazione >0 soluzioni esterne, quindi x <-2 e x>2
14)(x + 5)² – (x-1)(2x +1) > 13(x +2)
x² + 25 + 10x – (2x² + x – 2x – 1) > 13x + 26
x² +25 + 10x -2x² – x + 2x + 1 > 13x + 26
-x² + 11x – 13x + 26 – 26 >0
-x² – 2x >0, cambiamo i segni :
x² +2x <0.
L’equazione associata è:
x² +2x=0 metto in evidenza la x e ottengo: x(x +2)=0
Le soluzioni saranno x= 0 e x+2=0 ⇒x=-2
ma a>0 , Δ>0, disequazione <0, le soluzioni saranno interne quindi -2<x<0
15)[ x²-(1 – x²) ](1 – 2x)+10 < 3(x -1) +x(1 – x)
[x²-(1 + x² – 2x)](1 – 2x) + 10 < 3x – 3 + x – x²
[x²-1 – x² + 2x)](1-2x)+10 <4x – 3 – x²
(-1 +2x)(1-2x)+10 <4x – 3 – x²
-1 + 2x + 2x – 4x² + 10 – 4x + 3 + x²<0
-3x² +12 <0
x² – 4 >0 . L’equazione associata è:
x² – 4 =0 ⇒ x= ± quindi x = ±2
ma a>0 , Δ>0, disequazione >0 , le soluzioni saranno esterne. Quindi x<-2, x>2
16)[x -4(1 -x) + 2 ](1 -x)< x -2(1 – 2x)
[x -4+4x +2 ](1 -x)< x – 2 + 4x
(5x -2)(1 – x)< 5x – 2
5x – 5x² – 2 + 2x <5x – 2
-5x² + 2x <0
5x² – 2x >0
x(5x – 2)>0 L’equazione associata e:
x(5x – 2)=0. Quindi le soluzioni sono x=0 e 5x-2=0⇒x= 2\5
ma a>0 , Δ>0, disequazione >0. Le soluzioni sono esterne, quindi x<0 e x>2\5
17)
-12x² + 85x – 125 <0
12x² – 85x + 125>0
Δ= 7225 – 6000= 1225
ma a>0 , Δ>0, disequazione >0. Le soluzioni sono esterne, quindi x< 25\12 e x>5
18)
2x² +8x + 8 -10 -5x >0
2x² + 3x – 2 >0
L’equazione associata è:
2x² + 3x – 2=0
Δ= 9 + 16 =25
ma a>0 , Δ>0, disequazione >0. Le soluzioni sono esterne, quindi x< -2 e x>1\2
19)2(x+5)² – (x -3)(x+3) >2(6x + 5) +22x
2(x² + 25 + 10x) – ( x² -9) > 12x + 10 + 22x
2x² + 50 + 20x – x² + 9 > 12x + 10 + 22x
x² + 20x – 34x +49 >0
x² – 14x + 49 >0
L’equazione associata è:
x² – 14x + 49=0
Δ\4= 49 -49=0
x=7
ma a>0 , Δ=0, disequazione >0. Le soluzioni sono tutto R escluso x=7
20)(x +5)² -8(-x -5) + (-4)² ≤0
x² + 25 + 10x + 8x + 40 + 16 ≤0
x² + 18x + 81 ≤0 L’equazione associata è:
x² + 18x + 81=0
Δ\4= 81 -81=0
x= -9
ma a>0 , Δ=0, disequazione≤0 La soluzione è solo x= -9
