Esercizi sui vettori

Esercizio n°1

Un cane legato con una catena lunga 6,0 m corre lungo il percorso circolare con raggio maggiore possibile, compiendo una mezza circonferenza.

Calcola la distanza percorsa e il modulo del vettore spostamento.

Calcola il modulo del vettore spostamento nel caso compia due giri completi. 

SVOLGIMENTO

La semicirconferenza quindi sarà proprio uguale alla  distanza percorsa e la corda del cane rappresenta il raggio

Quindi avremo che la semicirconferenza sarà = (2 • π • r ): 2, facciamo diviso due appunto per ottenere la semicirconferenza quindi:

d = 2 • 3,14 • 6 : 2 ⇒ d = 18,8 m ≈ 19 m

Il  modulo del vettore spostamento non tiene conto del percorso che il cane fa ma è solo il segmento che unisce il punto da cui parte il cane a dove arriva quindi:

vettore spostamento = 2 • r = 12 m

Se il cane compie due giri completi significa che si troverà un’altra volta al punto di partenza quindi lo spostamento è nullo.

Esercizio n°2

Una ragazza prende la rincorsa e sale con il suo skateboard sulla rampa nella figura, partendo dal punto A. Dopo aver percorso la parte semicircolare fino al punto D spicca un salto in verticale di 70 cm, atterra di nuovo sul bordo nel punto D e ritorna indietro fino a fermarsi nel punto B.

Dati del disegno: raggio= 80 cm, distanza dal punto C al punto B 4,5 m, h= 90 cm 3 lunghezza orizzontale tra B ad A 6,2 m

Calcola la distanza totale che percorre lo skateboard prima di fermarsi.
Determina il vettore spostamento e il suo modulo. 

SVOLGIMENTO

Dividiamo il percorso in tratti e calcoliamoci prima il tratto AB utilizzando Pitagora poichè il primo tratto è proprio un triangolo rettangolo quindi :

Ovviamente prima dobbiamo fare l’equivalenza e portare i 90 cm a 0,9 m

Il tratto BC è semplice perchè è rettilineo e quindi corrisponde proprio al dato sul disegno quindi 4,5 m.

L’ultimo tratto quindi CD è una semicirconferenza di raggio 80 cm cioè 0,8 m quindi:

A questo punto non ci resta che sommare tutti i valori trovati nei vari tratti e considerando anche il salto di 70 cm quindi 0,7 m ma per due volte perchè ovviamente durante il salto dovrà anche scendere compiendo sempre 0,7 m.

d = 6,26 m + 4,5 m + 2,51 m + 0,7 m + 0,7 m + 2,51 + 4,5 ≈ 21 m 

Il vettore spostamento sarà dato dal punto dove parte al punto B e il modulo corrisponde al primo valore calcolato quindi 6,3 m.

Esercizio n°3

Il vettore è scomposto lungo la direzione e perpendicolari tra loro. I due vettori componenti così ottenuti hanno modulo = 10,2 e = 13,6.

Determina il modulo del vettore . 

SVOLGIMENTO

Esercizio n°  4

Sono dati due vettori =(6m) e = (4m) + (3m) che hanno la coda nello stesso punto.

Calcola l’area del parallelogramma generato dai due vettori.

Calcola l’area del triangolo che si forma unendo le punte dei vettori.

SVOLGIMENTO

Se andiamo a rappresentare i vettori un piano di assi cartesiani notiamo che essi formeranno un parallelogramma di base 6m ed altezza 3 metri.

L’area del parallelogramma è base per altezza quindi 

A = 6 • 3 = 18 m²

Invece per quanto riguarda il triangolo sappiamo che l’area è base per altezza diviso due quindi :

A= 6 • 3 : 2 = 9 m²

Esercizio n° 16

Il vettore è rivolto verso est mentre il vettore forma con un angolo di 60° in senso antiorario (cioè verso nord). I loro moduli sono u= 15 e v= 12.

Determina l’intensità, la direzione e il verso del vettore = × .

SVOLGIMENTO

Il prodotto vettoriale è pari a :

= 15 • 12 • sen 60° ≈ 160°

Questo è il modulo, per quanto riguarda la direzione sarà quella ortogonale ad entrambi i vettori e quindi quella perpendicolare al nostro foglio e il verso si determina con la regola della mano destra e sarà e quindi sarà quello che entra il foglio.

Esercizio n° 17

Il prodotto vettoriale tra i vettori e dà un vettore di modulo uguale a 23. L’angolo tra e è 20° e ha modulo pari a 11.

Determina la componente di perpendicolare al vettore e il modulo di .

SVOLGIMENTO

Il prodotto vettoriale si calcola nel seguente modo:

| ×|.= ab •senα

quindi il modulo di b lo possiamo calcolare con la formula inverse:

Per calcolare la componente di perpendicolare al vettore bisogna considerare la formula per calcolarla che equivale a :

Esercizio n° 18

I due vettori e hanno modulo rispettivamente 5,0 e 8,0. Il vettore ha modulo pari a 20.

Calcola l’ampiezza dell’angolo formato dalle direzioni dei due vettori e .

Il vettore = ×   ha lo stesso modulo di ? 

SVOLGIMENTO

Essendo un prodotto vettoriale abbiamo la seguente formula:

quindi

Esercizio n° 19

I vettori e costituiscono rispettivamente l’ipotenusa e il cateto maggiore di un triangolo rettangolo. Il modulo di vale 10 e il cateto minore del triangolo è lungo 5,0. Calcola:

L’ampiezza dell’angolo formato dalla direzione dei due vettori;

Il modulo del vettore ;

Il modulo del prodotto vettoriale ×.

SVOLGIMENTO

In un triangolo rettangolo se un cateto è uguale a metà dell’ipotenusa, ciò implica che sia opposto ad un angolo di 30 gradi.

Oppure un’altra regola è questa:

il cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa e il seno dell’angolo opposto al cateto . Quindi nel caso specifico:

b= a • sen α però a noi serve conoscere l’angolo quindi avremo:

Il modulo del vettore lo calcoliamo con il teorema di Pitagora quindi:

Infine por calcolare il modulo del prodotto vettoriale sappiamo che esso è uguale | ×|.= ab senα

| ×.| = 10 • • sen (30)≈ 44 unità

Esercizio n° 20

Due rette s e t sono perpendicolari tra loro. Il vettore , di modulo 12, forma un angolo α = 25°  con la retta s, come mostra la figura.

Disegna la proiezione di lungo la retta s e t.

Calcola la lunghezza delle proiezioni di lungo le rette s e t.

SVOLGIMENTO

 

Esercizio n° 21

Le rette r e s formano tra loro un angolo di 120°. Il vettore è perpendicolare a r e ha modulo 8,0.

Determina il modulo della proiezione di  lungo le due rette assegnate.

SVOLGIMENTO

La proiezione lungo r è un punto quindi pari a 0, invece quella lungo s è quella disegnata e vale:

il suo angolo sarà 120° dato dal problema – 90° perchè sappiamo che il vettore è perpendicolare quindi l’angolo da considerare è di 30°.

Esercizio n° 22

Due vettori e hanno modulo rispettivamente pari a 6,2 e 4,5 e formano tra loro un angolo di 65°.

Calcola il loro prodotto scalare usando la componente di su .

Calcola il loro prodotto scalare con la formula che utilizza i moduli dei vettori e l’angolo compreso tra essi.

SVOLGIMENTO

Esercizio n° 23

I vettori e   hanno moduli A=3,0 e B=4,0 e formano tra loro un angolo di 50°. Calcola il modulo del loro prodotto vettoriale.

SVOLGIMENTO

Il prodotto vettoriale tra due vettori il cui modulo si ricava con la seguente formula:

α è l’angolo formato tra i due vettori.

Esercizio n° 24

I vettori e hanno moduli A= 7,0 e B= 13 e il modulo del loro prodotto vettoriale è 62.

Calcola l’angolo tra i due vettori.

SVOLGIMENTO

Esercizio n° 25

Il prodotto scalare tra i vettori e è uguale a 8,0. i moduli dei due vettori dono A= 2,0 e B=5,0. 

Calcola il modulo del loro prodotto vettoriale.

SVOLGIMENTO

Prima di tutto scriviamo la formula del prodotto scalare:

ma sappiamo che il prodotto scalare vale 8 quindi abbiamo

8= 2 • 5 cos α quindi cos α = 0,8  ricaviamoci l’angolo con:

Quindi a questo punto conoscendo l’angolo mi posso calcolare il prodotto vettoriale:

Esercizio n° 26

Due vettori e   hanno moduli rispettivamente pari a 3,0 e 4,0 e la proiezione di su uguale a 2,0.

Calcola l’angolo compreso tra i due vettori.

Calcola il modulo del prodotto vettoriale × .

SVOLGIMENTO

Conoscendo la proiezione significa che conosciamo la componente su quindi possiamo solo considerare il prodotto scalare per poi calcolarci l’angolo compreso che non conosciamo.

Quindi possiamo  dire che :

= 3 • 4 • sen (60°) ≈ 10

Esercizio n° 27

Un vettore forma con l’asse x di un piano cartesiano un angolo di 45°. La sua componente lungo l’asse y è:

.

Calcola il modulo di

SVOLGIMENTO

Sicuramente in questa situazione dobbiamo applicare la regola che dice: che un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente oppure all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto.

Quindi in questo caso è l’angolo opposto e quindi abbiamo:

Esercizio n° 28

Un vettore forma con l’asse x di un piano cartesiano un angolo di 30° . La sua componente lungo l’asse x è :

Calcola il modulo di B.

SVOLGIMENTO

Sicuramente in questa situazione dobbiamo applicare la regola che dice: che un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente oppure all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto.

In questo caso siamo nella situazione del cateto e dell’angolo adiacente quindi:

Esercizio n° 29

Le componenti cartesiane di un vettore sono = 15,0 e = 30,0.

Calcola il modulo del vettore .

SVOLGIMENTO

In questo caso conoscendo le due componenti il modulo del vettore lo calcoliamo con il teorema di Pitagora.

Esercizio n° 30

I vettori e    hanno modulo A= 1,6 e B = 2,4.

Determina il modulo del vettore somma + e l’angolo che forma con l’asse x.

SVOLGIMENTO

Prima di tutto ci calcoliamo le componenti di entrambi i vettori:

                             

                           

Il vettore somma lo chiamiamo quindi le sue componenti saranno:

A questo punto ci calcoliamo il modulo di =

Per calcolare l’angolo che il vettore somma forma usiamo la seguente formula:

Esercizio n° 31

Calcola il prodotto scalare dei vettori :

   e   

SVOLGIMENTO

Prendo le componenti delle x e delle y di entrambi i vettori: