ESERCIZIO N° 1
Scrivi l’equazione del fascio proprio di rette passante per il punto P(-5; 1\3) e con coefficiente angolare m=0, m=1 e m=-3
ESERCIZIO N° 2
Scrivi l’equazione del fascio di rette passante per ciascun punto indicato con coefficiente angolare m=0, m=5, m=-3.
1)A(-2; 3)
2)B(6; -4)
ESERCIZIO N° 3
Determina l’equazione della parallela e della perpendicolare alla retta r di equazione 2y – x + 6 =0, passanti per A(1;1).
ESERCIZIO N° 4
Per ciascuna retta, scrivi l’equazione della parallela e della perpendicolare passanti per il punto A.
1)A(-3;-3) y = 7\6x
2)A(0; -2) y +3x+2=0
3)A(1; -1) x+y = 0
ESERCIZIO N° 5
Dato il fascio di rette di equazione :
(2k – 1)x – 3ky + 2 =0
determina il valore del parametro k per cui si ottiene la retta del fascio parallela alla retta di equazione y = 3x – 2.
ESERCIZIO N° 6
Dato il fascio di rette di equazione:
(2k + 1)x – 2ky + 5 = 0
determina il valore del parametro k per cui si ottiene la retta del fascio perpendicolare alla retta di equazione 6y-5x=1
ESERCIZIO N° 7
Dato il fascio di rette di equazione:
kx – 2y +k – 2=0
determina i valori del parametro k per cui si ha una retta:
a)passante per l’origine
b)passante per il punto P(-1;2);
c)perpendicolare alla retta di equazione y = – 1\3x + 2
SVOLGIMENTO
Scrivi l’equazione del fascio proprio di rette passante per il punto P(-5; 1\3) e con coefficiente angolare m=0, m=1 e m=-3.
Scriviamo prima di tutto l’equazione della retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto.
Sostituiamo le coordinate del punto e otteniamo.
y – 1\3 = m( x + 5)
A questo punto otteniamo la retta a seconda del diverso coefficiente angolare.
Se m=0
y – 1\3 = 0( x + 5) ⇒ y – 1\3 =0 ⇒ y = 1\3
Se m=1
y – 1\3 = 1( x + 5) ⇒ y – 1\3 = x + 5 ⇒ y = x + 5 +1\3 ⇒ y = x + 16\3
Se m = -3
y – 1\3 = -3 ( x + 5) ⇒ y – 1\3 = -3x – 15 ⇒ y = -3x – 15 + 1\3 ⇒ y = -3x – 44\3
ESERCIZIO N° 2
Scrivi l’equazione del fascio di rette passante per ciascun punto indicato con coefficiente angolare m=0, m=5, m=-3.
1)A(-2; 3)
y -3 =m(x + 2)
Se m = 0 y-3 = 0 ⇒ y = 3
Se m = 5
y -3 =5(x + 2) ⇒ y – 3 = 5x + 10 ⇒ y = 5x + 13
Se m = -3
y -3 =-3(x + 2) ⇒ y – 3 = -3x – 6 ⇒ y = – 3x – 3
2)B(6; -4)
y + 4 = m (x – 6)
Se m = 0 y + 4 =0 ⇒ y = -4
Se m = 5
y + 4 = 5 (x – 6) ⇒ y + 4 = 5x – 30 ⇒ y = 5x – 34
Se m = -3
y + 4 = -3 (x – 6) ⇒ y + 4 = – 3x + 18 ⇒ y = -3x + 14
ESERCIZIO N° 3
Determina l’equazione della parallela e della perpendicolare alla retta r di equazione 2y – x + 6 =0, passanti per A(1;1).
Il coefficiente angolare della retta r è m=-a\b = + 1\2
L’equazione della retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto è:
y -1 = m (x – 1)
Se la retta è parallela alla retta r allora m’=m =1\2
y -1 = 1\2 (x – 1) ⇒ y = 1\2x – 1\2 + 1 ⇒ y = 1\2x + 1\2
Se la retta è perpendicolare alla retta r allora m’= – 1\m quindi m’= – 2
y -1 = m (x – 1) ⇒ y -1 = -2 (x -1) ⇒ y = -2x + 2 + 1 ⇒ y = -2x + 3
ESERCIZIO N° 4
Per ciascuna retta, scrivi l’equazione della parallela e della perpendicolare passanti per il punto A.
1)A(-3;-3) y = 7\6x
L’equazione della retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto è:
y +3 = m(x + 3)
Se la retta è parallela alla retta r allora m’=m =7\6
y +3 = 7\6(x + 3) ⇒ y = 7\6x + 7\2 – 3 ⇒ y = 7\6x + 1\2
Se la retta è perpendicolare alla retta r allora m’= – 1\m quindi m’= -6\7
y +3 =-6\7 (x + 3) ⇒ y = -6\7 x – 18\7 – 3 ⇒ y = -6\7 x – 39\7
2)A(0; -2) y +3x+2=0
y + 2 = m (x – 0)
Se la retta è parallela alla retta r allora m’=m =-a\b =-3
y + 2 = -3 (x) ⇒ y = -3x – 2
Se la retta è perpendicolare alla retta r allora m’= – 1\m quindi m’= 1\3
y + 2 = 1\3(x – 0) ⇒ y = 1\3x – 2
3)A(1; -1) x+y = 0
y + 1 = m(x – 1)
Se la retta è parallela alla retta r allora m’=m =-a\b = -1
y + 1 = -1(x – 1) ⇒ y + 1 = -x + 1 ⇒ y = -x
Se la retta è perpendicolare alla retta r allora m’= – 1\m quindi m’=+1
y + 1 =1(x – 1) ⇒ y = x – 1 – 1 ⇒ y = x – 2
ESERCIZIO N° 5
Dato il fascio di rette di equazione :
(2k – 1)x – 3ky + 2 =0
determina il valore del parametro k per cui si ottiene la retta del fascio parallela alla retta di equazione y = 3x – 2.
Il coefficiente angolare dell’equazione (2k – 1)x – 3ky + 2 =0 è m= -a\b = 2k-1\ 3k
Il coefficiente angolare dell’equazione y = 3x – 2. è m=3
Visto che le rette sono parallele si possono eguagliare i loro coefficienti angolari.
2k-1\3k= 3 ⇒ 2k – 1 = 9k ⇒ 7k = -1 ⇒ k = – 1\7
ESERCIZIO N° 6
Dato il fascio di rette di equazione:
(2k + 1)x – 2ky + 5 = 0
determina il valore del parametro k per cui si ottiene la retta del fascio perpendicolare alla retta di equazione 6y-5x=1
Il coefficiente angolare dell’equazione (2k + 1)x – 2ky + 5 = 0 è
Il coefficiente angolare dell’equazione 6y-5x=1 è m= -a\b= 5\6
Visto che le rette sono perpendicolari m’= -1\m quindi:
10k +5 = -12k⇒ 10k + 12k = – 5 ⇒ 22k = -5 ⇒ k = -5\22
ESERCIZIO N° 7
Dato il fascio di rette di equazione:
kx – 2y +k – 2=0
determina i valori del parametro k per cui si ha una retta:
a)passante per l’origine
b)passante per il punto P(-1;2);
c)perpendicolare alla retta di equazione y = – 1\3x + 2
a)Sostituisco le coordinate dell’origine (0,0) nell’equazione con il parametro e ottengo:
0 – 0 + k – 2 ⇒ k = 2
b)Sostituisco le coordinate del punto P nell’equazione con il parametro e ottengo:
k(-1)-2(2) + k – 2 =0 ⇒ – k -4 + k – 2 =0 ⇒ -4 – 2 = 0 quindi non passa per il punto P visto che la K va via.
c)Il coefficiente angolare dell’equazione kx – 2y +k – 2=0 è m= -a\b=k\2
Il coefficiente angolare dell’equazione y = – 1\3x + 2 è m= – 1\3
Visto che le rette sono perpendicolari m’= -1\m quindi:
k\2= 3 ⇒ k = 6
