ESERCIZI SULLE INCERTEZZE
Esercizio n° 1
Simone è un ciclista amatoriale e con la sua bici munita di contakilometri partecipa a un’escursione organizzata. Sa che la distanza che deve percorrere è di 15,5 km, ma il suo contakilometri alla fine della gita segna una distanza percorsa di 14,8 km.
Da che tipo di errore è affetta la misura?
Di quanto in percentuale è sbagliata la misura fornita dal contakilometri di Simone rispetto al valore vero?
Per ogni kilometro percorso, di quanto sbaglia il contakilometri?
Svolgimento
Il contakilometri svolge sempre lo steso tipo di errore quindi si parla di errore sistematico .
Per risolverlo possiamo fare una proporzione dove:
errore sistematico = 15,5 km – 14,8 km = 0,7 km
errore sistematico : misurazione = e% : 100
sostituiamo i valori che il problema ci da e scriviamo:
0,7 km : 14,8 km = e% : 100
cioè circa 5%
Per rispondere all’ultima domanda dividiamo l’errore commesso in 15,5 km e cioè 0,7 con 15,5 quindi:
cioè circa 0,05 km
15,5 è adimensionale perchè rappresenta quanti km ci sono in 15,5 km quindi 15,5 km : 1 km = 15,5
Esercizio n° 2
Un costruttore di piscine olimpioniche dichiara che le sue piscine sono lunghe (50,00 ± 0,01)m. Ciò significa che una piscina a Roma può essere lunga per esempio 50,01 m e un’altra, dello stesso costruttore, installata a Firenze, può misurare invece 49,99 m di lunghezza. In una gara di 1500 m a stile libero, ogni atleta deve percorrere 30 volte la propria corsia.
Quanti metri percorre effettivamente un atleta a Roma? E uno a Firenze?
Quanto vale la differenza fra le due distanze percorse a nuoto?
La differenza nelle distanze percorse può spiegare il raggiungimento di un record ottenuto nella piscina di Firenze? Quale altra informazione dovresti conoscere per poter rispondere?
Svolgimento
A Roma l’atleta percorre 50,01m • 30 volte = 1500,3 m
A Firenze l’atleta percorre 49,99 m• 30 volte = 1499,7 m
La differenza è = 1500, 3 m – 1499,7 m = 0,6 m
Per rispondere all’ultima domanda dovrei sapere le altre piscine con che errore siano state costruite. Se la piscina di Firenze fosse l’unica costruita con quell’errore allora allora ciò spiegherebbe perchè il record si raggiunge lì.
Esercizio n° 3
Carlo, Andrea e Beatrice misurano in laboratorio la densità di una barretta di alluminio tre volte ciascuno, con diversi strumenti. Il valore esatto della densità dell’alluminio è .
a) Carlo : 2670 kg/m³ , 2671 kg/m³, 2672 kg/m³
b) Andrea: 2700 kg/m³, 2670 kg/m³, 2729 kg/m³
b) Beatrice : 2699 kg/m³,2698 kg/m³,, 2701 kg/m³
Per ogni serie di misure, stabilisci se gli errori casuali son o grandi o piccoli.
Per ogni serie di misure, stabilisci se gli errori sistematici sono grandi o piccoli.
Spiega perchè.
Svolgimento
Nel caso di Carlo l’errore casuale é piccolo rispetto a quello sistematico. Le misure sono vicine fra loro ma distanti dal valore esatto. Sempre nello stesso senso.
Per Andrea l’errore casuale é grande, perché vi sono valori distanti da quello vero, in entrambi i sensi. L’errore sistematico piccolo.
Nel caso di Beatrice, errori casuali e sistematici sono entrambi piccoli. La misura é accurata ( centrata intorno al valore vero ) e precisa ( le variazioni sono piccole ).
Esercizio n° 4
Un tratto di strada viene misurato due volte: la lunghezza massima trovata è 12,4 m; la lunghezza minima è 10,8 m.
Stima (valore attendibile e incertezza) la lunghezza del tratto di strada.
Svolgimento
Per calcolare il valore più attendibile bisogna fare la media quindi sommare le misurazioni fatte e dividerle per il numero di misurazioni. Quindi :
Si calcola il valore assoluto per misurare l’incertezza visto che ci sono poche misurazioni
A questo punto possiamo scrivere correttamente il risultato come:
m
ESERCIZIO N° 5
In laboratorio quattro studenti misurano ciascuno con il cronometro il tempo che impiega una pallina a percorrere un piano leggermente inclinato. Le misure ottenute sono:
Caterina: 0,99 s
Mohammed : 0,96 s
Alessandro: 0,95 s
Lucia: 0,98 s
Qual è il valore più attendibile del tempo che ha impiegato la pallina a percorrere il piano?
Qual è l’incertezza della misura?
Svolgimento
Si calcola la media dei tempi misurati:
Calcoliamo l’incertezza della misura:
Massimo tempo misurato – Minimo tempo misurato = 0,99 s – 0,95 s = 0,04 s
ESERCIZIO N° 6
Una libreria misura (0,90 ± 0,02) m. Supponi di avere tre di queste librerie affiancate.
Qual è il valore minimo della lunghezza occupata? E il valore massimo?
Stima il valore attendibile e l’incertezza della lunghezza delle tre librerie affiancate.
Svolgimento
Calcoliamo la lunghezza minima di una libreria: 0,90 – 0,02 = 0,88 m
Poi la lunghezza massima di una libreria: 0,90 + 0,02 = 0,92m
In seguito calcoliamo la lunghezza minima delle tre librerie: 3 • 0,88 = 2,64 m
Poi calcoliamo la lunghezza massima delle tre librerie: 3 • 0,92 = 2,76 m
Calcoliamo il valore attendibile: 3 • 0,90 = 2,70 m
Infine calcoliamo l’incertezza totale: 3 • 0,02 = 0,06 m
ESERCIZIO N° 7
Uno studente ha misurato la lunghezza di 5 barrette di alluminio, che hanno fornito come stima il valore L= (24,1 ±0,3) mm. Nei suoi appunti però ha trascritto solo tre misure: 23,8mm, 24,0 mm, 24,1 mm, tra le quali è sicuro che ci sia la misura minima ma non la massima.
Quali sono le due misure mancanti?
Svolgimento
= 23,8 m ; = 24,0 mm; = 24,1 mm
La media sarà:
L’errore assoluto sarà:
Sostituiamo il valore ottenuto che corrisponde ad per ottenere così
ESERCFIZIO N° 8
Giada misura la temperatura dell’acqua in una pentola con un termometro digitale. La stima del valore della temperatura è (45,5 ± 0,1) °C.
Determina l’incertezza relativa e l’incertezza relativa percentuale.
Svolgimento
ESERCIZIO n° 9
Alberto e Bruno usano lo stesso modello di termometro digitale da cucina, che ha la sensibilità di 0,1 °C. L’incertezza relativa percentuale della misura di Bruno è 0,20%. Alberto misura una temperatura di 83,0°C.
Stima la temperatura misurata da Bruno.
Determina l’incertezza relativa percentuale della temperatura misurata da Alberto.
Svolgimento
ma la formula dell’incertezza percentuale la possiamo scrivere anche come:
da qui possiamo ricavare la media cioè 50°C
Per quanto riguarda Alberto abbiamo:
quindi : °C
ESERCIZIO N° 10
In un laboratorio vengono fatte quattro misure del tempo di caduta di un oggetto dalla stessa altezza. I tempi sono misurati con un cronometro che ha una sensibilità di un centesimo di secondo. I tempi misurati sono: 0,61 s – 0,64 s – 0,71 s – 0,68 s
Determina il valore attendibile del tempo di caduta dell’oggetto.
Calcola lo scarto quadratico medio dei dati. E’ un parametro attendibile per stimare l’incertezza della misura?
Svolgimento
La media aritmetica rappresenta il valore più attendibile quindi:
Invece per lo scarto quadratico medio la formula è:
ESERCIZIO N° 11
Un oggetto di massa incognita viene posto su diverse bilance con sensibilità di 1 mg. I valori ottenuti sono: 12,352 g -, 12,353 g -, 12,346g – 12,348 g – 12,347 g – 12,351 g – 12,350 g – 12,347 g .
Determina il valore attendibile della massa incognita.
Calcola lo scarto quadratico medio dei dati.
Svolgimento
La media aritmetica rappresenta il valore più attendibile quindi:
Calcoliamo lo scarto quadratico medio:
ESERCIZIO N° 12
Alcuni studenti misurano il periodo di un pendolo, cioè il tempo necessario per compiere un’oscillazione completa. Gli studenti utilizzano un cronometro con sensibilità uguale al centesimo di secondo. Le misure ottenute sono: 1,33 s – 1,35 s – 1,46 s -1,42 s – 1,40 s – 1,47 s – 1,41 s – 1,30 s – 1,46 s – 1,31 s .
Determina il valore attendibile del periodo del pendolo.
Calcola lo scarto quadratico medio. E’ un parametro adatto ad esprimere l’incertezza della misura?
Stima il periodo del pendolo.
Svolgimento
Il valore più attendibile è la media di tutte le misure effettuate:
Quando il numero delle misurazioni è grande quindi superiore a quattro\cinque conviene usare lo scarto quadratico medio perchè più preciso.
Il periodo del pendolo lo possiamo scrivere così:
p= 1,40 s ± 0,05 s
ESERCIZIO N° 13
L’altitudine di un monte è (3542 ± 4) m. Il campo base di un gruppo di alpinisti si trova a (1844 ± 2)m.
Determina il dislivello che devono superare gli alpinisti per raggiungere la cima del monte.
Svolgimento
Per calcolare il dislivello dobbiamo fare una sottrazione e poichè si tratta di misure indirette bisogna sottrarre il valore delle misure ed addizionare quello degli errori assoluti delle singole misure quindi avremo:
d= (3452 m-1844 m) ± (4 m+2 m)
d= 1698 m ± 6 m
ESERCIZIO N° 14
Un cilindro graduato contiene inizialmente un volume d’acqua pari a (200 ± 5 ) cm³. Un oggetto viene immerso completamente in acqua e il volume dell’acqua sale a (345 ± 5 ) cm³.
Calcola il volume dell’oggetto.
Svolgimento
d= (345 cm³-200 cm³) ± (5 cm³+5 cm³)
d= 145 cm³ ± 10 cm³
Portiamo tutto in dm³:
d= 0,15 dm³ ± 0,01dm³
ESERCIZIO N° 15
Andrea corre i 100 m col tempo di (13450 ± 8) ms. Il suo tempo di reazione ai blocchi di partenza é (0,26 ± 0,03) s.
Calcola il tempo effettivo impiegato da Andrea per coprire la distanza di 100 m.
Svolgimento
Prima di tutto convertiamo i millisecondi in secondi. Quindi avremo: (13,45 ± 0,008) s
A questo punto sottraiamo al tempo di Andra quello di reazione ai blocchi e sommiamo gli errori:
t= (13,45 s – 0,26 s) ± (0,008 s + 0,03 s)
t= (13,19 ± 0,038) s
t= (13,19 ± 0,04) s
ESERCIZIO N° 16
Una stanza ha una forma di un rettangolo di dimensioni 2,2 m e 5,1 m.
Determina l’area della stanza ed esprimila con il numero corretto di cifre significative.
Svolgimento
A = b • h = 2,2 • 5,1 = 11,22 m² quindi le cifre significative saranno due come quelle dei fattori di partenza quindi 11 m²
ESERCIZIO N° 17
Un cilindro di rame (= 8,96g/cm³) ha massa 2,00 kg.
Calcola il suo volume in cm³ ed esprimilo con il numero corretto di cifre significative.
Svolgimento
I dati hanno tre cifre significative, il risultato che otterremo potrà avere solo tre cifre significative.
densità = 8,96 g/cm³
massa = 2,00 kg = 2000 g;
V = 223 cm³
ESERCIZIO N°18
Due diversi produttori di ceramiche forniscono per lo spessore di due mattonelle questi dati :
Qual é la differenza di spessore tra le due mattonelle? Esprimi il risultato con il numero corretto di cifre significative.
Svolgimento
Concertiamo = 7mm
La differenza degli spessori = 8 mm – 7 mm = 1 mm
ESERCIZIO N° 19
Lisa misura le dimensioni del suo libro con un righello. La larghezza misura (18,5 ± 0,1) cm e la lunghezza (28,6 ± 0,1) cm.
Stima l’area della superficie del libro misurata da Lisa.
Svolgimento
In pratica per conoscere il valore dell’errore in una moltiplicazione si somma il prodotto della media per l’errore del primo valore con il prodotto della media e l’errore del secondo valore.
A= b • h = (18,5 • 28,6) cm² ± (18,5 •0,1 + 28,6 •0,1 ) cm²
A= (529 ± 5) cm²
ESERCIZIO N° 20
Il volume di un cubo è (420 ± 5) cm³ e la sua massa è (295 ±1) g.
Stima la densità del cubo insieme al suo errore assoluto.
Svolgimento
L’errore relativo della densità è uguale alla somma degli errori relativi della massa e del volume quindi :
L’errore assoluto è uguale al valore dell’errore relativo per il valore della densità ottenuto quindi sarà uguale:
0,014 • 0,70= 0,0098 cioè 0,001
d =(0,70 ± 0,01) g/ cm³
ESERCIZIO N° 21
Per stimare lo spessore di una moneta da 10 centesimi di euro, Gianluca sovrappone 15 monete una sull’altra e misura con un righello l’altezza della pila di monete ottenuta. La misura è (2,9 ± 0,1) cm, dove 0,1 cm è la sensibilità del righello.
Stima lo spessore della moneta.
Svolgimento
Calcolare prima di tutto l’altezza di una singola moneta :
Altezza di una singola moneta = altezza totale della pila di monete: numero di monete
Altezza di una singola moneta = 2,9 cm : 15 = 0,193 cm = 1,93 mm
A questo punto calcoliamo l’incertezza sull’altezza di una singola moneta poichè la sensibilità del righello è 0,1 avremo:
Incertezza sull’altezza di una singola moneta = 0,1 cm: 15 = 0,007 cm = 0,07 mm
A questo punto possiamo rispondere alla domanda del problema infatti lo spessore della moneta da 10 centesimi di euro è stimato essere (1,93 ± 0,07)mm
ESERCIZIO N° 22
Marco vuole misurare la densità di un cubetto: con un righello misura lo spigolo del cubetto, ottenendo l=(1,4 ±0,1) cm, e con una bilancia digitale misura la massa, ottenendo m = (23,0 ± 0,1) g.
Determina il valore attendibile e l’errore assoluto della densità del cubetto.
Marco può determinare il materiale di cui è costituito il cubetto?
Svolgimento
La grandezza da ricavare è la misura della densità.
Il suo valore sperimentale è dato dal rapporto tra massa e volume, utilizzando i valori misurati.
V= l² = (1,4)³ cm³ = 2,7 cm³
In una misura indiretta, come quella della densità, per determinare l’errore assoluto dobbiamo sommare le incertezze relative sulle singole misure.
Calcoliamo l’errore relativo sulla massa:
Successivamente calcoliamo l’errore relativo sul volume:
Calcoliamo l’errore relativo sulla densità, sommando questi errori:
d= (8 ± 2 ) g\cm³;
Che materiale è?
No non è possibile perchè il valore trovato non corrisponde ad alcun materiale.
ESERCIZIO N° 23
Il goleador argentino Lionel Messi ha segnato il seguente numero di reti per ogni anno solare dal 2008 al 2012: 33- 47 – 53 – 73 – 90.
Calcola la media delle reti messe a segno.
Svolgimento
ESERCIZIO N° 24
Con il righello si misura ripetutamente la lunghezza di una corda, ottenendo i seguenti risultati: 3,84 m – 3,79 m – 3,85 m; 3,76 m – 3,80 m – 3,86 m – 3, 80 m – 3,78 m .
Qual è il valore medio di queste misure?
Calcola la semidispersione massima.
Come dev’essere scritto il risultato?
Svolgimento
Il valore medio si calcola:
Calcoliamo ora la semidispersione massima e si prende il valore più grande e il più piccolo e si divide per 2
Infine il risultato scritto correttamente sarà:
(3,81 ± 0,05) m
ESERCIZIO N° 25
Misuriamo 10 volte il diametro di un tubo di plexiglas e otteniamo i seguenti valori in cm: 6,31 – 6,33 – 6,32 – 6,36 – 6,33 – 6,30 – 6,35 – 6,32 – 6,34 – 6,33. La sensibilità dello strumento utilizzato è 0,01 cm.
Calcola il valore medio dei dati e la semidispersione massima ed esprimi correttamente il risultato della misura.
Svolgimento
Il valore medio lo calcoliamo come:
A questo punto calcoliamo ora la semidispersione massima e si prende il valore più grande e il più piccolo e si divide per 2
A questo punto possiamo scrivere correttamente il risultato formato dal valore medio e la semidispersione massima.
(6,33 ± 0,03)cm
ESERCIZIO N° 26
Una tua amica misura la lunghezza dell’aula e comunica il risultato dicendo: ” la lunghezza dell’aula è compresa fra 890 e 900 cm”.
Qual è l’incertezza associata alla misura?
Quanto vale l’incertezza percentuale?
Svolgimento
L’incertezza corrisponde all’errore quindi in questo caso sarà equivalente a 5 poichè la differenza tra le due lunghezze è 10 diviso 2 sarà 5
L’incertezza percentuale sarà data dall’incertezza relativa per 100. Essa si calcola in questo modo: incertezza assoluta divoso la media delle misurazioni per cento.
ESERCIZIO N° 27
Una montagna è alta 2150 m. La sua altezza è nota con un’incertezza di 5 m.
Scrivi l’altezza della montagna con la sua incertezza.
Calcola l’incertezza percentuale.
Un alpinista raggiunge la cima e vi pone una pila di sassi alta 0,5 m. Come si modifica la scrittura dell’altezza della montagna?
Svolgimento
Il modo di scrivere correttamente una misura è:
h= ± e quindi il valore attendibile e cioè la media a cui i aggiunge o sottrae l’errore
h= ( 2150 ± 5 )m
L’incertezza percentuale sarà data dall’incertezza relativa per 100. Essa si calcola in questo modo: incertezza assoluta diviso la media delle misurazioni per cento.
L’alpinista ponendo una fila di sassi non fa cambiare l’altezza perchè la cifra significativa dell’incertezza deve essere una quindi aggiungendo a 5 lo 0,5 sempre 5 rimarrà il valore dell’incertezza.
ESERCIZIO N° 28
Elena misura la temperatura della sua stanza con un termometro che ha una sensibilità di 0,1 ° C. La sua misura è affetta da un’incertezza percentuale dell’0,5%.
Quanto vale la temperatura della stanza di Elena?
Svolgimento
l’Incertezza assoluta = 0,1 °C
l’errore relativo è anche uguale a:
° C
ESERCIZIO N° 29
Il nonno di Agnese misura le dimensioni di un suo appezzamento di terra di forma rettangolare e ottiene 47,18 m di lunghezza e 23,5 m di larghezza.
Quanto vale il perimetro del campo, espresso con il corretto numero di cifre significative?
Svolgimento
Prima di tutto calcoliamo il perimetro del rettangolo con la formula 2P = 2 • (lunghezza + larghezza) quindi avremo :
2p = 2( 47,18 + 23,5)m = 141,36 m
Arrotondiamo il risultato al corretto numero di cifre significative che in questo caso sono quattro perchè si prende il numero di cifre significative del numero più grande quindi 47,18 quindi: 141,36 m diventa 141,4 m.
ESERCIZIO N° 30
Il raggio della Terra con due cifre significative, è R= m. Un aereo è in volo a un’altezza di 6000 m sul livello del mare. Un satellite è in orbita a 102 km sul livello del suolo.
Qual è la distanza dell’aereo dal centro della Terra con il corretto numero di cifre significative?
Qual è la distanza del satellite dal centro della Terra con il corretto numero di cifre significative?
Svolgimento
La distanza dell’aereo dal centro della Terra poichè il valore 6000 è molto piccolo rispetto al raggio della Terra allora la distanza risulterà con due cifre significative sempre m
Poichè 102 km corrisponde a m allora vorrà dire che la distanza cambierà di valore in quanto aumenterà di un’unità la cifra dopo la virgola e diventerà m
ESERCZIO N° 31
Con un cronometro di sensibilità 0,01 s hai misurato il periodo di un pendolo. Hai ripetuto la misura 15 volte e hai ottenuto i valori nella tabella : 1,90 – 1,85 – 1,87 – 1,91 – 1,85 – 1,89 – 1,92 – 1,93 – 1,88 – 1,86 – 1,92 – 1,86 – 1,90 – 1,91 – 1,84
Calcola il valore medio del periodo del pendolo.
Calcola lo scarto quadratico medio e confrontalo con la semidispersione massima.
Esprimi correttamente il risultato della misura.
Svolgimento
Calcoliamo lo scarto quadratico medio:
Calcoliamo la semidispersione massima che viene effettuata la differenza tra il valore più grande e il più piccolo diviso 2. Quindi otteniamo:
si nota che l’errore è maggiore
Il risultato corretto della misura è: (1,89 ± 0,03)s
ESERCZIZIO N° 32
Con un distanziometro si misura la lunghezza di un’asta metallica. I risultati ottenuti sono: 5,10 – 4,99 – 5,02 – 4,98 – 5,08 – 5,05 – 4,82 – 5,05
Calcola lo scarto quadratico medio.
Esprimi correttamente il risultato della misura.
Svolgimento
Calcoliamo prima di tutto la media:
Poi calcoliamo lo scarto quadratico:
Il risultato scritto correttamente è : (5,01 ± 0,08)m
ESERCIZIO N° 33
Per conoscere il volume di un sasso, lo immergi in un cilindro graduato in cui hai già versato (30 ± 1) mL di acqua. Il livello dell’acqua sale fino a un volume totale di
Calcola il volume del sasso con la sua incertezza.
Calcola l’incertezza relativa.
Confrontala con l’incertezza relativa sui volumi corrispondenti ai due livelli raggiunti dall’acqua.
Svolgimento
Prima di tutto la cosa che dobbiamo considerare che le incertezze si sommano. In questo caso sarà 1+1 quindi 2 ml.
il volume del sasso sarà 37 ml- 30 ml = 7 ml Quindi la misurazione precisa è ( 7 ± 2) ml
L’incertezza relativa :
Poi calcoliamo l’incertezza relativa sul volume dell’acqua è :
L’incertezza relativa sul volume totale è:
ESERCZIO N° 34
La lunghezza del diametro di un CD è .(12,0 ± 0,1) cm
Calcola la lunghezza della circonferenza del CD e la corrispondente incertezza.
Calcola l’area del cerchio con la relativa incertezza.
Esprimi in maniera corretta i risultati ottenuti.
Calcola l’incertezza relativa su ogni misura.
Svolgimento
1) Poiché la formula della circonferenza è , basterà moltiplicare il diametro per π. Moltiplicheremo le misure ma dobbiamo tenere presente anche l’errore della misura;
Esso sarà espresso come la somma degli errori relativi delle singole misure. In questo caso basterà calcolare l’errore relativo del diametro, perché il π non ha errore.
quindi C= 12 • 3,14 = 37,68 cm
A questo punto per trovare l’errore massimo, moltiplichiamo la misura ottenuta della circonferenza per l’errore relativo.
quindi
2) L’area del cerchio si calcola : A= π•r²
. Il procedimento è simile al precedente ma in più dobbiamo sommare gli errori relativi delle due misure che andremo a moltiplicare.
r = d : 2 = 12 : 2 = 6 cm
l’errore relativo è lo stesso di prima, ora calcoliamo l’errore assoluto con il raggio , quindi:
Quindi la misura del raggio scritta in forma corretta è : (6 ± 0,05) cm
A= π•r² ⇒ A= 3,14 • 6² cm= 113,04 cm²
I risultati espressi in forma corretta sono:
C= (37,68 ± 0,31)cm
A= (113,04 ± 1,87) cm²
ESERCZIO N° 35
Sara sa che il raggio di un cilindro misura (8,3 ± 0,1) cm, ma non ha modo di misurarne l’altezza. Esegue quindi una serie di misure del volume ottenendo i seguenti risultati:
1,082 dm³; 1,074 dm³; 1,080 dm³; 1,076 dm³; 1,081 dm³
Esprimi il valore dell’altezza del cilindro ricavato da Sara con la rispettiva incertezza.
.Svolgimento
quindi
Convertiamo il volume in cm³ e otteniamo 1,077 •10³ cm³
Adesso per considerare l’errore dobbiamo tener presente che facciamo il quadrato del raggio quindi dobbiamo sommare due volte l’errore del raggio
Questo è l’errore sperimentale a questo punto calcoliamo l’errore assoluto sul volume
convertiamolo in cm³ che viene 4 e calcoliamoci l’errore relativo del volume
Sommiamo gli errori quindi: 0,012+ 0,004= 0,016
Per calcolare l’errore assoluto dell’altezza moltiplichiamo il valore relativo per il valore dell’altezza e otteniamo:
La misura dell’altezza scritta in modo corretto è (5 ± 0,1) cm
ESERCZIO N° 36
Durante una lezione di laboratorio un gruppo di studenti prende le misure del tempo che un carrellino impiega a percorrere un tratto di lunghezza fissata della rotaia a cuscino d’aria.
1,98 – 1,64 – 2,24 – 1,94 – 1,84 – 1,88 – 2,03 – 1,72 – 2,08 – 1,94
Scrivi correttamente il risultato della misura.
Calcola l’incertezza percentuale.
Quale risultato avresti ottenuto considerando la semidispersione massima?
.Svolgimento
Prima di tutto ci calcoliamo la media
Calcolo la deviazione standard :
quindi ottengo :
Il risultato sarebbe (1,93 ± 0,2)s
Se usassi la semidispersione massima faccio la differenza tra il valore massimo e il minimo e dividiamo per due quindi
deviazione standard = (2,24- 1,64) : 2 = 0,3
e il risultato sarebbe : (1,93 ± 0,3) s
L’errore percentuale è:
ESERCIZIO N° 37
Misuri gli spigoli a, b, c, di un parallelepipedo e ottieni i seguenti risultati:
a = (40,5 ± 0,3) cm
b= (10,8 ± 0,2) cm
c= (20,3 ± 0,1) cm
Esprimi correttamente il valore della misura indiretta del volume.
Svolgimento
Il volume del parallelepipedo l’otteniamo come prodotto delle tre grandezze quindi:
V= 40.5•10.8•20.3 = 8879,22 cm³
Calcoliamo l’errore relativo di ogni grandezza:
spigolo a
spigolo b
spigolo c
Sommo gli errori relativi e il risultato lo moltiplico per il valore del volume per conoscere l’errore assoluto:
(8879 ± 266) cm³ =(8.9± 0.3) dm³
ESERCIZIO N° 38
Una piscina olimpionica è formata da una vasca a 10 corsie di lunghezza l = 50 m e larghezza l = 25 m. Un giudice di gara, per verificarne le dimensioni, vuole calcolare il perimetro di una piscina dove si devono svolgere le gare e, con un metro a nastro che apprezza il centimetro, misura i valori:
Calcola il valore della misura del semiperimetro della piscina e scrivilo con la sua incertezza.
Calcola il valore dell’incertezza percentuale.
.Svolgimento
Poichè il giudice di gara usa un metro la nostra incertezza è 1 cm e cioè 0,01 m quindi le misure effettuate le possiamo scrivere con le relative incertezze quindi:
l = (50,32 ± 0,01)m
L= (25,48 ± 0,01)m
Il semiperimetro sarà la metà del perimetro quindi in questo caso la somma delle due lunghezze
p= 50,32 + 25,48 = 75,80 m
L’incertezza è uguale alla somma delle incertezze quindi 0,01 + 0,01 = 0,02
Qundi potremo scrivere che il semiperimetro è uguale a (75,80 ± 0,02)m
Calcoliamo ora l’incertezza relativa :
L’incertezza relativa percentuale:
ESERCIZIO N° 39
Un alpinista deve percorrere la prima tappa di un percorso. Al momento della partenza, l’orologio dell’alpinista (che funziona anche con altimetro) segna un’altitudine di 1050 m . Alla fine della tappa , l’altitudine è di 1420 m. L’orologio misura l’altitudine con un’incertezza relativa del 2,0%.
Qual è la migliore stima che l’alpinista può dare del dislivello della prima tappa del percorso?
Con quale incertezza percentuale lo può determinare?
Svolgimento
Per calcolare il dislivello h =1420 m-1050 m = 370m
Calcoliamo ora l’incertezza di ogni singola grandezza e poichè si tratta di una sottrazione l incertezze si sommeranno.
Chiamiamo Δh l’incertezza da calcolare
e(tot) = 21 + 28,4 = 49,4 m ≈ 50 m
La stima migliore del dislivello è (370 ± 50)m
Ora calcoliamo l’incertezza percentuale quindi:
ESERCIZIO N° 40
Una bilancia analogica misura la massa con un errore percentuale del 15%. La massa complessiva di una cassetta colma di frutta misurata con questa bilancia è di 5.0 kg, mentre la tara è di 0.7 kg.
Come si esprimono queste misure in modo corretto con il rispettivo errore?
La bilancia viene letta da un altro osservatore che non si posiziona esattamente di fronte alla scala graduata. Il valore misurato per la massa della cassetta è diverso dal precedente, per difetto o per eccesso a seconda della sua posizione. Perché?
Svolgimento
L’errore percentuale si trova moltiplicando l’errore relativo per cento; quindi per trovare l’errore relativo da quello percentuale, basterà dividere quest’ultimo per cento.
L’errore massimo lo ricaviamo dall’errore relativo:
I risultati scritti correttamente saranno (5,0 ± 0,75) kg e (7,0 ± 0,105) kg per la tara.
Per quanto riguarda la seconda risposta possiamo dire:
Se non si guarda la bilancia dal davanti, di fronte alla scala graduata, ma ci si sposta verso destra o verso sinistra, il peso misurato sembrerà maggiore o minore. Ciò è dovuto al fenomeno di parallasse, per cui un oggetto sembra spostarsi rispetto allo sfondo se si cambia il punto di osservazione.
