Le disequazioni intere possono essere numeriche o letterali.
Le disequazioni numeriche intere vengono risolte in modo simile a come viene fatto per le equazioni.
Per esempio consideriamo la disequazione:
2\3 + 3(x – 1) < 1\2 (1 + x) + 1 eliminiamo il denominatore effettuando il minimo comune multiplo che è 6
4 + 18(x – 1) < 3 (1 + x) + 6
4 + 18x – 18 < 3 + 3x + 6 trasportiamo i termini con l’incognita x nel primo membro ed i termini noti nel secondo, quindi applichiamo il 1° principio di equivalenza
18x – 3x < 3 + 6 – 4 + 18
15x < 23 dividiamo i membri per 15 e si ottiene:
x < 23\15
La disequazione data è verificata per tutti i valori minori di 23\15.
Un altro esempio di disequazione sempre verificata è:
15x – 40 < 5x – 10 + 10x + 6
15x – 5x – 10x < – 10 + 6 + 40
0 · x < 36 qualunque valore sostituiamo a x , il prodotto 0 · x vale sempre 0. Poichè la disequazione 0<36 è vera, la disequazione risulta sempre verificata e si scriverà ∀x∈R.
Un esempio di disequazione mai verificata è:
3x – 2 – x > 4 + 2x + 1
2x – 2 > 5 + 2x
2x – 2x > 5 + 2
0 · x > 7
Qualunque valore sostituiamo ad x , otteniamo sempre 0 > 7 , che è una disuguaglianza falsa, quindi risulta mai verificata e si scrive ∃ x ∈ R
Per quanto riguarda le disequazioni letterali, come per le equazioni anch’esse letterali intere, è spesso necessaria la discussione.
Per esempio:
a(x – 3) < 2x + 1
ax – 3a < 2x + 1
ax – 2x < 3k + 1
x(a – 2) < 3a + 1
Il segno di x dipende dal valore di a, per questo è necessaria la discussione, distinguendo i tre casi:
a – 2 > 0; a – 2 = 0; a – 2 < 0
Se a – 2 > 0 ⇒ a > 2 quindi possiamo dividere entrambi i membri per a – 2, ottenendo una disequazione dello stesso verso:
Se a – 2 = 0 ⇒ a = 2 quindi otteniamo:
x(a – 2) < 3a + 1 ⇒ x (2 – 2) < 3 · 2 + 1
0 · x < 7 quindi 0 < 7 e la disequazione è sempre verificata ∀x∈R.
Se a – 2 < 0, ossia a < 2, dividendo i due membri per una quantità negativa, dobbiamo invertire il senso della disequazione quindi:
