Si chiama disuguaglianza ogni scrittura della forma A>B o A<B la quale esprime che un numero è maggiore o minore di un altro, oppure che, di due date espressioni, una deve assumere valori maggiori o minori dell’altra per determinati valori delle lettere che vi compaiono.
Per le disuguaglianze valgono i seguenti principi:
Proprietà della monotonia dell’addizione
Aggiungendo uno stesso numero, positivo o negativo, da ambedue i membri di una disuguaglianza numerica si ottiene una diseguaglianza dello stesso senso.
Per esempio
a>b quindi a+c>b+c o anche a – c > b – c
Da qui risulta in particolare che si può trasportare un termine da un membro all’altro cambiando di segno.
Infatti se abbiamo a + b > c aggiungendo ad entrambe i membri il termine -b si ha
a + b – b > c – b cioè a > c – b
Il termine b infatti, è passato da una parte all’altra cambiando di segno.
Consideriamo un esempio numerico:
-9 < 15 aggiungendo ad entrambe i membri + 5 otteniamo:
-9 + 5 < 15 + 5 ⇒ -4 < 20 la disuguaglianza è sempre valida
Addizione di disuguaglianze dello stesso senso
Due disuguaglianze dello stesso senso si possono sommare membro a membro, ottenendo così una disuguaglianza dello stesso senso.
Consideriamo due disuguaglianze a>b e c>d
Applicando questa regola abbiamo che a + c > c + d
Quello che vale per l’addizione non vale per la sottrazione. Facciamo un esempio numerico, consideriamo per esempio 3 < 5 e 2 < 8 , sommando membro a membro otteniamo 3+2 < 5 + 8 ⇒ 5 <13 che è una disuguaglianza sempre vera. Invece, se sottraiamo membro a membro otteniamo 3 – 2 < 5 – 8 quindi 1 < -3, ovviamente ciò non può essere vero.
Moltiplicazione (divisione) per un numero positivo
Moltiplicando (o dividendo) entrambe i membri di una disuguaglianza per uno stesso numero positivo, si ottiene una disuguaglianza dello stesso senso.
Consideriamo un numero m >0
a > b moltiplicando entrambe i membri per m otteniamo ma > mb ⇒a\m > b\m
Consideriamo un esempio numerico
5 < 7 e moltiplichiamo per + 3, otteniamo 15 < 21 quindi la proprietà è verificata.
Moltiplicazione (divisione) per un numero negativo
Moltiplicando o dividendo entrambe i membri di una disuguaglianza per uno stesso numero negativo, si ottiene una disuguaglianza di senso contrario.
Consideriamo un numero m<0
a > b moltiplicando entrambe i membri per m otteniamo ma > mb ⇒ a\m < b\m
Per esempio 7 > 5 moltiplichiamo entrambe i membri per – 1 e otteniamo se non cambiamo verso -7>-5, ovviamente ciò non è vero quindi si deve cambiare il verso del segno e avremo – 7 < -5.
Proprietà dei reciproci di numeri concordi
Dati due numeri concordi e diversi da zero, la diseguaglianza fra i loro reciproci ha senso contrario rispetto a quella fra i numeri stessi.
Consideriamo 2 < 3 e vediamo che la disuguaglianza dei loro reciproci prevede il cambio di verso per essere considerata vera, 1\2 > 1\3.
Prodotto di disuguaglianze dello stesso senso fra numeri positivi
Se moltiplichiamo membro a membro due disuguaglianze dello stesso senso fra numeri positivi, otteniamo una disuguaglianza dello stesso senso.
2 < 5 e 6 < 9
moltiplichiamo membro a membro e otteniamo 2 · 6 < 5 · 9 ⇒ 12 < 54 la disuguaglianza è vera.
Programma matematica primo superiore
