Massimo comune divisore e minimo comune multiplo tra polinomi
Le definizioni e le regole del M.C.D e del m.c.m. fra polinomi sono analoghe a quelle dei monomi..
M.C.D. fra polinomi
Si dice massimo comune divisore (M.C.D.) fra due o più polinomi il polinomio di grado massimo che è divisore di tutti i polinomi dati.
Per esempio M.C.D. di (x-3)(x+1)³; (x-3)²(x+1)² è (x-3)(x+1)²
Quindi il calcolo del M.C.D fra due o più polinomi è il prodotto dei loro fattori irriducibili comuni, presi una sola volta e con l’esponente minore.
Esempio
Determiniamo il M.C.D fra i seguenti polinomi:
a²b – b³; a³ – b³; a³ -2a²b + ab²
Scomponiamo prima di tutto i fattori:
a²b – b³ = b(a²-b²) = b(a-b)(a+b) abbiamo applicato prima la messa in evidenza e poi la differenza di quadrati;
a³ – b³= (a-b)(a² +ab + b²) abbiamo applicato la differenza di cubi
a³ -2a²b + ab²= a(a²-2ab +b²) = a(a-b)² abbiamo applicato prima la messa in evidenza e poi il quadrato di un binomio.
Vediamo che l’unico fattore che hanno in comune una volta resi irriducibili è (a-b) preso con l’esponente minore.
M.C.D. = a-b
m.c.m. fra polinomi
Si dice m.c.m. fra due o più polinomi il polinomio di grado minore che è divisibile per tutti i polinomi dati.
Per esempio il m.c.m. di (x-3)(x+1)³ e (x-3)²(x+1)² è (x-3)²(x+1)³
Quindi il minimo comune multiplo fra due o più polinomi è il prodotto dei loro fattori irriducibili comuni e non comuni, presi una sola volta, con l’esponente massimo.
Esempio
Determiniamo il m.c.m. fra :
a²b – b³; a³ – b³; a³ -2a²b + ab²
Scomponiamo prima di tutto i fattori:
a²b – b³ = b(a²-b²) = b(a-b)(a+b) abbiamo applicato prima la messa in evidenza e poi la differenza di quadrati;
a³ – b³= (a-b)(a² +ab + b²) abbiamo applicato la differenza di cubi
a³ -2a²b + ab²= a(a²-2ab +b²) = a(a-b)² abbiamo applicato prima la messa in evidenza e poi il quadrato di un binomio.
Dopo averli resi irriducibili, scegliamo i fattori comuni e non comuni con l’esponente massimo, quindi il m.c.m = ab(a-b)²(a+b)(a²-2ab +b²)
