Massimo Comune Divisore di monomi
Il calcolo del minimo comune multiplo e del Massimo Comune Divisore, studiato per i numeri, si estende anche ai monomi.
Un monomio A si dice multiplo di un monomio B se esiste un monomio C per il quale si ha A = B · C; in questo caso diremo anche che B è divisore del monomio A.
Il massimo comune divisore (MCD) tra due o più monomi è il monomio che, tra tutti i divisori comuni dei monomi dati, ha grado massimo.
Il coefficiente numerico può essere un qualunque numero reale: se i coefficienti sono tutti interi è opportuno scegliere il loro MCD, se non sono interi è opportuno scegliere 1.
Esempio:
Dati i monomi 12a³b² e 16a²b sono divisori comuni: 1, 2, 4, a, a² , b, ab, a²b, 2a, 2a² , 2b, 2ab, 2a²b, 4a, 4a² , 4b, 4ab, 4a²b. Il monomio di grado massimo è a²b, il MCD tra i coefficienti è 4. Pertanto il MCD dei monomi è 4a²b.
Il MCD di un gruppo di monomi è il monomio che ha:
- per coefficiente numerico il MCD dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi qualora questi siano numeri interi, se non sono interi si prende 1;
- b ) la parte letterale formata da tutte le lettere comuni ai monomi dati, ciascuna presa una sola volta e con l’esponente minore con cui compare.
Esempio n° 1
Calcolare il MCD(14a³b³c² , 4ab² , 8a²b³c). Per prima cosa calcoliamo il MCD tra i coefficienti numerici 14, 4 e 8 che è 2.
Per ottenere la parte letterale si mettono insieme tutte le lettere comuni, ciascuna con l’esponente minore con cui compare: ab² .
In definitiva, quindi, il MCD(14a³b³c² , 4ab² , 8a²b³c) = 2ab² .
Esempio n° 2
Calcolare il massimo comune divisore tra 5x³y²z³ , − 18 xy² z² e 7x³yz² .
Si osservi che i coefficienti numerici dei monomi non sono numeri interi quindi si prende 1 come coefficiente del MCD.
Le lettere in comune sono x, y e z. Prese ciascuna con l’esponente minore con cui compaiono si ha xyz² . Quindi, il MCD(5x 3y 2 z 3 , − 1 8 xy2 z 2 , 7x 3yz2 ) = xyz² .
La scelta di porre uguale a 1 il coefficiente numerico del MCD, nel caso in cui i monomi abbiano coefficienti razionali, è dovuta al fatto che una qualsiasi frazione divide tutte le altre e quindi una qualsiasi frazione potrebbe essere il coefficiente del MCD.
Minimo comune multiplo
Estendiamo ora ai monomi la nozione di minimo comune multiplo.
Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più monomi è il monomio che, tra tutti i monomi multipli comuni dei monomi dati, ha il grado minore.
Il coefficiente numerico può essere un qualunque numero reale: se i coefficienti sono tutti interi è opportuno scegliere il loro mcm, se non lo sono è opportuno scegliere 1.
Per calcolare il minimo comune multiplo tra 5a³b e 10a²b² dovremmo costruire i loro multipli finché non incontriamo quello comune che ha coefficiente numerico positivo più piccolo e grado minore: alcuni multipli di 5a³b sono: 10a³b, 10a³b² , 10a 4b, 15³b, . . . alcuni multipli di 10a²b² sono: 10a²b³ , 10a³b² , 10a³b² , 20a²b² , . . . Il minimo comune multiplo è 10a³b².
Esempio n° 1
Calcola il minimo comune multiplo tra 5a³bc, 12ab²c e 10a³bc² .
Il mcm tra i coefficienti 5, 12, 10 è 60. Per ottenere la parte letterale osservo il grado maggiore delle lettere componenti i monomi, riporto tutte le lettere, comuni e non comuni, una sola volta con il grado maggiore con cui ciascuna compare: a³b²c² .
In definitiva, il mcm( 5a³bc, 12ab²c e 10a³bc² ) = 60a³b²c² .
Esempio n° 2
Calcola il mcm(6x²y, − 1 2 xy² z, 23 x³yz).
I coefficienti numerici dei monomi non sono interi, quindi il mcm avrà come coefficiente 1. La parte letterale si costruisce mettendo insieme tutte le lettere che compaiono (x, y, z), ciascuna presa con l’esponente massimo, quindi x³y²z. In definitiva mcm(6x²y, − 1 2 xy² z, 23 x³yz) = x³y²z.. Assegnati due monomi.
