Parabola con asse coincidente con l'asse y, matematica superiori

Consideriamo il caso in cui la parabola abbia l’asse si simmetria coincidente con l’asse y e che l’origine quindi O(0,0) coincida con il vertice.

La direttrice ovviamente si troverà al di sotto dell’asse delle x, quindi avrà equazione y=-p

Diciamo che il fuoco (F) ha coordinate (0,p) quindi la direttrice avendo la stessa distanza di F dal vertice V avrà come equazione y = -p

Il punto K avrà come coordinate (x,y).

Sappiamo poi che per definizione K appartiene alla parabola se e solo se KF=KH.

A questo punto calcoliamoci i due segmenti:

$KF= \sqrt{(x-0)^{2}+(y-p)^{2}}$

$KH=\left | y+p \right |$

poniamo KF=KH quindi otteniamo $\sqrt{(x-0)^{2}+(y-p)^{2}}= \left | y+p \right |$

A questo punto eleviamo entrambi i membri al quadrato perchè tutti e due positivi. Otteniamo:

$x^{2}+(y-p)^{2}=\left | y+p \right |^{2} \rightarrow x^{2}+{\color{Red} y^{2}}-2py+{\color{Red} p^{2}}= {\color{Red} y^{2}}+2py+{\color{Red} p^{2}}$

otteniamo:

$4py=x^{2}\rightarrow y=\frac{1}{4p}x^{2}$

visto che l’espressione $\frac{1}{4p}$ è un valore numerico conosciuto, lo possiamo indicare con a quindi sostituendolo otteniamo:

y=ax²

Viato che $\frac{1}{4p}=a \Rightarrow p=\frac{1}{4a}$

A questo punto possiamo riassumere dicendo che una parabola con vertice nell’origine degli assi e asse di simmetria coincidente con l’asse y ha equazione :

y=ax² con a≠0

Il fuoco è il punto:

F (0, $\dpi{120} {\color{Red} \frac{1}{4a}}$ )

La direttrice è la retta:

$\dpi{120} {\color{Red} y=-\frac{1}{4a}}$

A questo punto per disegnare una parabola dobbiamo prima di tutto trovare le coordinate di altri punti della parabola , quindi attribuiamo dei valori alla variabile x per sapere quanto varrà la y. Generalmente lo si fa per tre volte.

Poi bisogna vedere se il valore della a è positivo o negativo.

Se a >0 tutti i valori della parabola hanno ordinate positive e quindi il grafico è contenuto interamente nei quadranti positivi degli assi e si dirà che la parabola volge la concavità verso l’alto.

Se a<0 tutti i punti hanno ordinate negative ed il grafico è interamente contenuto nel semipiano negativo e si dice che la parabola volge la concavità verso il basso.