Data un’equazione, se si aggiunge ai due membri uno stesso numero o una stessa espressione, si ottiene un’equazione equivalente.
Consideriamo una qualsiasi equazione : 3x = 6, la cui soluzione è x=2.
Se aggiungiamo lo stesso valore positivo o negativo ad entrambe i membri vediamo che la soluzione sarà la stessa. Infatti, aggiungendo per esempio +4 avremo:
3x + 4 = 6 + 4 ma vediamo che 3x = 6 + 4 – 4 quindi x = 2. Possiamo dire che 2x + 6 e 3x + 4 = 6 + 4 sono equivalenti.
Se invece di aggiungere un numero, aggiungiamo ad entrambi i membri dell’equazione la stessa espressione 4x avremo:
3x + 4x = 6 + 4x → 3x + 4x – 4x = 6 vediamo che l’unica soluzione sarà sempre x= 2, quindi le due equazioni sono equivalenti.
Bisogna fare attenzione perchè se si aggiunge una frazione come 1 \ (x-2) la soluzione non può essere x = 2, perchè per tale valore la frazione perde di significato, infatti, andando a sostituire x=2 al denominatore della frazione avremo 2-2= 0, quindi l’equazione non è equivalente a quella data.
Il primo principio di equivalenza può essere applicato solo se le espressioni che si aggiungono non restringono le condizioni di esistenza dell’equazione.
Dal primo principio si ricavano delle regole utili per svolgere le equazioni.
- Se sono presenti dei termini uguali in entrambe i membri di un’equazione possono essere eliminati, ottenendo un’equazione equivalente. Per esempio 6x + 5 = 3 + 5 è equivalente a 6x = 3.
- Data un’equazione si può sempre trasportare un termine da un membro all’altro purchè si cambi di segno. Per esempio 8x + 5 = 7x – 4 è equivalente a 8x = 7x -4 -5. Questo perchè sfruttando il principio di equivalenza è come se avessimo aggiunto – 5 ad entrambi i membri 8x + 5 – 5 = 7x – 4 – 5 quindi 8x = 7x -4 -5.
