Questi problemi consistono nel dividere un numero in parti proporzionali a più numeri dati : la somma delle parti ottenute deve essere uguale al numero dato. La proporzionalità può essere diretta o inversa per cui si distinguono problemi di RIPARTIZIONE SEMPLICE DIRETTA E DI RIPARTIZIONE SEMPLICE INVERSA.
Programma matematica seconda media
RIPARTIZIONE SEMPLICE DIRETTA
PROBLEMA 1
In una villetta abitata da 3 famiglie la spesa per il mantenimento del giardino viene suddivisa in parti direttamente proporzionali al numero di componenti di ogni famiglia: 2, 3, 6. Se la spesa complessiva è stata di 363 euro, quale sarà la quota che dovrà pagare ogni famiglia?
Indicando con x,y,z, la quota di ciascuna famiglia che è direttamente proporzionale al numero di componenti di ogni famiglia si ha:
x: 2 = y : 3 = z : 6
11 = il numero totale dei componenti
Applicando la proprietà del comporre e ricordando che la somma di tutte le quote è 363 euro otteniamo:
363 : 11=x : 2 363 : 11=y : 3 363 : 11=z : 6
La somma degli importi calcolati deve essere uguale alla spesa complessiva infatti ( 66 + 99 + 198) = 363 euro.
PROBLEMA 2
Tre soci formano una società versando uno 3600 euro, il secondo 4500 euro e il terzo 6000 euro. Alla fine dell’anno l’utile della società ammonta a 2350 euro. A quanto ammonta il guadagno di ciascun socio?
L’utile dovrà essere ripartito per tutti e tre i soci in proporzione alle quote che hanno versato. Indicando con x,y, z le somme che spettano ai tre soci si ha :
x : 3600=y : 4500=z : 6000
Poichè sappiamo che l’utile totale x +y +z è 2350 euro e il capitale sociale è 3600+ 4500 + 6000 = 14100, applicando la proprietà dell’uguaglianza di più rapporti abbiamo:
2350 : 14100= x : 3600 2350 : 14100 = y : 4500 2350 : 14100 = z : 6000
PROBLEMA 3
Dividi il numero 780 in parti direttamente proporzionali ai numeri 12 e 14.
Indicando con x e y le parti che vogliamo trovare, scriviamo i dati del problema.
x : 12 = y : 14
x + y = 780
Applichiamo la proprietà dell’uguaglianza di più rapporti all’antecedente in modo da ottenere la somma x + y, che conosciamo.
(x + y) : (12 + 14 ) = x : 12 = y : 14
Sostituendo 780 alla somma x + y otteniamo due proporzioni nelle incognite x e y.
780: 26 = x : 12 780 : 26 = y : 14
Risolviamo le proporzioni per trovare x e y.
PROBLEMA N° 4
Suddividi il numero 330 in parti direttamente proporzionali ai numeri 2, 4 e 5.
Indicando le tre parti con x,y e z si ha:
x : 2 = y : 4= z : 5 e x+y+z = 330
Risolvendo:
(x + y + z) : (2 + 4 + 5) = x : 2
(x + y + z) : (2 + 4 + 5) = y : 4
(x + y + z) : (2 + 4 + 5) = z : 5
sostituendo x + y+ z con 330, si ottiene:
330 : 11 = x : 2 330 : 11 = y : 4 330 : 11 = z : 5
PROBLEMA 5
Tre operai hanno percepito la somma di 3 000 euro per un lavoro fatto insieme. Se il primo ha lavorato 6 giorni, il secondo 10 giorni e il terzo 9 giorni, quanto spetterà a ciascuno?
Dati
x , y, z sono direttamente proporzionali ai numeri 6 , 10, 9
Incognite
x = somma spettante al primo operaio
y = somma spettante al secondo operaio
z = somma spettante al terzo operaio
Svolgimento
x : 6 = y : 10 = z : 9 e x + y + z = 3 000
( x + y + z ) : ( 6 + 10 + 9) = x : 6
( x + y + z ) : ( 6 + 10 + 9) = y : 10
( x + y + z ) : ( 6 + 10 + 9) = z : 9
Quindi sostituendo i dati che conosciamo avremo:
3 000 : 25 = x : 6 →
3 000 : 25 = y : 10 →
3 000 : 25 = z : 9 →
Verifica
x + y + z = 720 + 1 200 + 1 080 = 3 000
