Scomposizione mediante i prodotti notevoli
I prodotti notevoli studiati sono utili per la scomposizione dei polinomi in fattori. Li dobbiamo utilizzare invertendo i due membri:
A² – B²= (A – B)(A+B);
A² + 2AB + B²= (A+B)²
A² -2AB + B²= (A-B)²
A²+B² + C² +2AB +2AC + 2BC =(A+B+C)²
A³+3A²B+3AB²+B³ =(A+B)³
A³- 3A²B + 3AB² – B³ =(A-B)³
A³ – B³ =(A-B)(A² + AB + B²)
A³ -+ B³ =(A+B)(A² – AB + B²)
Esempi:
- 16a²+ b² +8ab = (+4a)² + (+b)² +2·(+4a)(+b)= (4a+b)²;
- 16a²+ b² – 8ab = (+4a)² + (-b)² +2·(+4a)(-b) = (4a – b)²;
- x²+2x+1= (x+1)²;
- 9a² + 4b² -12ab = (-3a)²+(2b)² + 2(-3a)2b= (-3a + 2b)²;
- 1 – 4x + 4x² =(1 -2x)² =(2x -1)²;
+y² + 1 + 2x²y + 2x² + 2y = (x² + y + 1)²;- 4a² + 25b² + 9c² + 20ab + 12ac + 30bc = (2a + 5b + 3c)²= (-2a -5b -3c)²;
- a² + 9b² + 4c² -6ab -4ac + 12bc =(a -3b -2c)² = (3b +2c -a)²;
- 1 + x² +4y² – 2x -4y + 4xy =(1 – x – 2y)² =(x + 2y – 1)²;
- 1\4a²b² + a² – a²bx³ + 1\3abx – 2\3a + 1\9x²=(1\2ab -ax³ + 1\3x)²;
Vedi gli esercizi
- a² – 9b² = a² – (3b)²=(a +3b)(a -3b);
- 25x² – 49 = (5x)² – 7²= (5x + 7)(5x – 7);
- (a+b)²-c² =(a+b+c)(a+b-c);
- (x+y)²-(x-y)²=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]=[(x+y)+(x-y) ][(x+y)-(x-y)]=[x+y+ x-y][x+y-x-y]= 2x·2y=4xy.
Vedi gli esercizi
Cubo di binomio
- 8x³ + 36x² + 54x + 27 = (2x)³ + 3·(2x)² ·3 + 3·(2x)(3)² + 3³ =(2x+3)³;
- 8a³ + 12a² + 6a + 1= (2a + 1)³;
- 1 + 3 – 3a² – = 1³ + (-a²)³ + 3·1·(-a²)² + 3·1² · (-a²)=[1 + (-a²) ]³ =(1-a²)³ =(1-a)³(1+a)³;
- x³y³ – 6x²y² + 12xy – 8 =(xy)³ + (-2)³ + 3 · (xy)²(-2)+3·(xy)·(-2)²= (xy – 2)³;
- -8x³ – a³ – 12ax² – 6a²x =(-2x – a)³;
- (a – 1)³ + x³ + 3x(a-1)²+3x²(a-1) = [(a -1)+x]³= (a-1 +x)³
- -(a-1)³+x³ +3x(a-1)²-3x²(a-1)= [-(a-1)]³+x³ +3·x · [-(a – 1)]² + 3 · x²·[-(a – 1)]= [-(a – 1)+x]³= =(x-a+1)³
Vedi gli esercizi
Somma o differenza di due cubi
Ricordando che:
A³ – B³ =(A-B)(A² + AB + B²)
A³ + B³ =(A+B)(A² – AB + B²)
- a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²);
- a³-b³=(a+b)(a²+ab+b²);
- 8a³ + 27b³ =(2a + 3b)(4a² -6ab +9b²);
- (1 +4x³)(1 – 4x³ + 16);
- (a-b)³ + 1 = (a-b+1)[(a-b)² – (a-b) +1]
Vedi gli esercizi
Particolari trinomi di secondo grado
Consideriamo il trinomio di secondo grado x²+8x + 15
Esso ha il coefficiente di x² uguale a 1; inoltre i numeri 8 e 5 sono, rispettivamente, la somma e il prodotto di 3 e 5.
8= 3 + 5 e 15= 3·5.
Quindi se proviamo a moltiplicare i due binomi formati dal 3 e il 5 cioè (x+3)(x+5), otteniamo proprio il trinomio x²+8x + 15.
Quindi:
x² +(a+b)x + ab = (x+a)(x+b)
Esempi
- x²+5x+6= x²+3x +2x +6 =(x+3)(x+2) ma si può arrivare a questo risultato cercando quei due numeri che sommati daranno +5 e moltiplicati +6; quei numeri sono proprio 3 e 2;
- x² – 4x – 12 = (x-6)(x+2) i due numeri che sommati fanno -4 e moltiplicati -12 sono -6 e + 2;
- x² – 9x + 14 = (x-7)(x-2) i due numeri che sommati fanno -9 e moltiplicati +14 sono -7 e -2;
- x² + 2x – 3 = (x+3)(x-1) i due numeri che sommati fanno +2 e moltiplicati -3 sono +3 e -1.
