La somma delle radici di un’equazione di secondo grado, con delta non negativo,è uguale al rapporto, cambiato di segno, fra il coefficiente della x e quello della x².
Se consideriamo l’equazione generale di secondo grado:
ax² + bx + c con Δ≥0
Sappiamo che le soluzioni sono:
e
Calcoliamo la somma delle due radici.
Invece il prodotto delle radici di un’equazione di secondo grado con il delta non negativo è uguale al rapporto fra il termine noto e il coefficiente di x².
e
Vediamo alcuni esempi per capire come applicare queste regole sopra enunciate.
Se consideriamo l’equazione generale ax² + bx + c e dividiamo tutti i membri per a, otteniamo:
Ma abbiamo visto che corrisponde alla somma delle radici e al prodotto delle radici di un’equazione di secondo grado. Quindi l’equazione generale la possiamo scrivere anche come:
x² – sx + p =0 dove s è la somma e p il prodotto.
Esercizio n° 1
Trovare le due radici, conoscendo la somma che vale 1\4 e il cui prodotto vale – 3\8
Sappiamo che:
x² – sx + p =0 quindi:
x² – 1\4x -3\8 =0 facciamo il minimo comune multiplo e otteniamo:
8x² -2x – 3 =0
A questo punto troviamo le radici :
e
Δ= 4+ 96 = 100
Esercizio n° 2
Data l’equazione :
2x² – 13x + 15 =0
sapendo che una radice vale 5 , calcola l’altra senza risolvere l’equazione.
Dividiamo tutto per il coefficiente della x² e otteniamo :
Sappiamo che :
poichè una radice vale 5 possiamo scrivere
quindi 10 + 2 = 13 ⇒ 2 = 3⇒ x = 3\2
